Ce mémoire étudie le comportement des particules dont la position est maximale
au temps t dans la marche aléatoire branchante et le mouvement brownien
branchant sur R, pour des valeurs de t grandes. Plus exactement, on regarde le
comportement du maximum d’une marche aléatoire branchante dans un environnement
inhomogène en temps, au sens où la loi des accroissements varie en fonction
du temps. On compare avec des modèles connus ou simplifiés, en particulier
le modèle i.i.d., où l’on observe des marches aléatoires indépendantes et le modèle
de la marche aléatoire homogène. On s’intéresse par la suite aux corrélations entre
les particules maximales d’un mouvement brownien branchant. Plus précisément,
on étudie le temps de branchement entre deux particules maximales. Finalement,
on applique les méthodes et les résultats des premiers chapitres afin d’étudier
les corrélations dans un mouvement brownien branchant dans un environnement
inhomogène. Le résultat principal du mémoire stipule qu’il y a existence de temps
de branchement au centre de l’intervalle [0, t] dans le mouvement brownien branchant
inhomogène, ce qui n’est pas le cas pour le mouvement brownien branchant
standard. On présentera également certaines simulations numériques afin de corroborer
les résultats numériques et pour établir des hypothèses pour une recherche
future. / This thesis studies the behavior of particles that are maximal at time t in
branching random walk and branching Brownian motion on R, for large values of
t. Precisely, we look at the behavior of the maximum in a branching random walk
in a time-inhomogeneous environment, where the law of the increments varies
with respect to time. We compare with known or simplified models such as the
model where random walks are taken to be i.i.d. and the branching random walk
in a time-homogeneous environment model. We then take a look at the correlations
between maximal particles in a branching brownian motion. Specifically, we
look at the branching time between those maximal particles. Finally, we apply
results and methods from the first chapters to study those same correlations in
branching Brownian motion in a inhomogeneous environment. The thesis’ main
result establishes existence of branching time at the center of the interval [0, t] for
the branching Brownian motion in a inhomogeneous environment, which is not
the case for standard branching brownian motion.We also present results of simulations
that agree with theoretical results and help establishing new hypotheses
for future research.
| Identifer | oai:union.ndltd.org:umontreal.ca/oai:papyrus.bib.umontreal.ca:1866/10636 |
| Date | 04 1900 |
| Creators | Turcotte, Jean-Sébastien |
| Contributors | Arguin, Louis-Pierre |
| Source Sets | Université de Montréal |
| Language | French |
| Detected Language | French |
| Type | Thèse ou Mémoire numérique / Electronic Thesis or Dissertation |
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