L'objet principal de ce mémoire est l'étude du jeu de taquin du point de vue de la combinatoire algébrique. Il s'appuie sur l'article de Mark Haiman « Dual equivalence with a conjecture of Proctor », Discrete Mathematics, 99, 1992 79-113. Dans cet article, Haiman étudie, entre autres, le jeu de taquin de Schützenberger, avec des preuves différentes de celle de Schützenberger; les preuves de Haiman se font uniquement en termes de jeu de taquin. Nous expliquerons la preuve des deux théorèmes fondamentaux du jeu de taquin dus à Schützenberger. Le premier théorème fondamental du jeu de taquin (Théorème 4.0.3) affirme que le redressé par jeu de taquin d'un tableau gauche quelconque ne dépend que de ce tableau, et pas de la suite de glissements choisis. C'est un théorème de confluence en somme. La preuve de Haiman utilise, d'une part, la notion d'équivalence duale des tableaux gauches, qu'il a défini. Il prouve entre autres que tous les tableaux de forme normale sont dualement équivalents (Corollaire 2.2.1). Il démontre aussi que l'équivalence duale des tableaux gauches se ramène à une suite d'équivalences duales élémentaires, c'est-à-dire d'équivalences duales de sous-tableaux à trois cases, appelés « miniatures » (Théorème 2.2.1). D'autre part, il utilise la notion de jeu de taquin « piloté » : les glissements du tableau sont déterminés par un autre tableau. Ceci permet à Haiman de démontrer un très beau résultat de dualité (Lemme 2.3.1) : les cases laissées vacantes dans le tableau T, lors d'un jeu de taquin piloté par le tableau S, déterminent un tableau, lequel est égal au tableau obtenu à partir de S par jeu de taquin piloté par T. Le second théorème fondamental du jeu de taquin (Théorème 4.0.6) affirme que le nombre de tableaux gauches de forme λ qui se redressent par jeu de taquin en un tableau normal T fixé, ne dépend que de la forme gauche λ et de la forme du tableau T (c'est ce qui permet à Lascoux et Schützenberger de donner la première preuve complète de la règle de Littlewood-Richardson). Notamment, le lien entre le jeu de taquin et l'algorithme de Robinson-Schensted est clairement établi : le jeu de taquin permet de simuler cet algorithme (Proposition 3.0.1) et l'équivalence des tableaux par jeu de taquin se ramène à l'égalité des tableaux d'insertion de Schensted de leur permutation ligne-à-ligne (Corollaire 4.0.5), alors que l'équivalence duale se ramène à l'égalité des tableaux d'indexation (Théorème 3.0.2).
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MOTS-CLÉS DE L’AUTEUR : jeu de taquin, Schützenberger, Haiman, équivalence duale, tableaux, algorithme de Robinson-Schensted.
| Identifer | oai:union.ndltd.org:LACETR/oai:collectionscanada.gc.ca:QMUQ.3951 |
| Date | 03 1900 |
| Creators | Harvie, Marie-Ève |
| Source Sets | Library and Archives Canada ETDs Repository / Centre d'archives des thèses électroniques de Bibliothèque et Archives Canada |
| Detected Language | French |
| Type | Mémoire accepté, NonPeerReviewed |
| Format | application/pdf |
| Relation | http://www.archipel.uqam.ca/3951/ |
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