In the course of the growth of the Internet and due to increasing availability of data, over the last two decades, the field of network science has established itself as an own area of research. With quantitative scientists from computer science, mathematics, and physics working on datasets from biology, economics, sociology, political sciences, and many others, network science serves as a paradigm for interdisciplinary research.
One of the major goals in network science is to unravel the relationship between topological graph structure and a network’s function. As evidence suggests, systems from the same fields, i.e. with similar function, tend to exhibit similar structure. However, it is still vague whether a similar graph structure automatically implies likewise function. This dissertation aims at helping to bridge this gap, while particularly focusing on the role of triadic structures.
After a general introduction to the main concepts of network science, existing work devoted to the relevance of triadic substructures is reviewed. A major challenge in modeling triadic structure is the fact that not all three-node subgraphs can be specified independently
of each other, as pairs of nodes may participate in multiple of those triadic subgraphs.
In order to overcome this obstacle, we suggest a novel class of generative network models based on so called Steiner triple systems. The latter are partitions of a graph’s vertices into pair-disjoint triples (Steiner triples). Thus, the configurations on Steiner triples can be specified independently of each other without overdetermining the network’s link
structure.
Subsequently, we investigate the most basic realization of this new class of models. We call it the triadic random graph model (TRGM). The TRGM is parametrized by a probability distribution over all possible triadic subgraph patterns. In order to generate a network instantiation of the model, for all Steiner triples in the system, a pattern is drawn from the distribution and adjusted randomly on the Steiner triple. We calculate the degree distribution of the TRGM analytically and find it to be similar to a Poissonian distribution. Furthermore, it is shown that TRGMs possess non-trivial triadic structure. We discover inevitable correlations in the abundance of certain triadic subgraph
patterns which should be taken into account when attributing functional relevance to particular motifs – patterns which occur significantly more frequently than expected at random. Beyond, the strong impact of the probability distributions on the Steiner triples on the occurrence of triadic subgraphs over the whole network is demonstrated. This interdependence allows us to design ensembles of networks with predefined triadic substructure. Hence, TRGMs help to overcome the lack of generative models needed for assessing the relevance of triadic structure.
We further investigate whether motifs occur homogeneously or heterogeneously distributed over a graph. Therefore, we study triadic subgraph structures in each node’s neighborhood individually. In order to quantitatively measure structure from an individual node’s perspective, we introduce an algorithm for node-specific pattern mining for both directed unsigned, and undirected signed networks. Analyzing real-world datasets, we find that there are networks in which motifs are distributed highly heterogeneously, bound to the proximity of only very few nodes. Moreover, we observe indication for the potential sensitivity of biological systems to a targeted removal of these critical vertices. In addition, we study whole graphs with respect to the homogeneity and homophily of their node-specific triadic structure. The former describes the similarity of subgraph distributions in the neighborhoods of individual vertices. The latter quantifies whether connected vertices
are structurally more similar than non-connected ones. We discover these features to be characteristic for the networks’ origins. Moreover, clustering the vertices of graphs regarding their triadic structure, we investigate structural groups in the neural network of C. elegans, the international airport-connection network, and the global network of diplomatic sentiments between countries. For the latter we find evidence for the instability of triangles considered socially unbalanced according to sociological theories.
Finally, we utilize our TRGM to explore ensembles of networks with similar triadic substructure in terms of the evolution of dynamical processes acting on their nodes. Focusing on oscillators, coupled along the graphs’ edges, we observe that certain triad motifs impose a clear signature on the systems’ dynamics, even when embedded in a larger
network structure. / Im Zuge des Wachstums des Internets und der Verfügbarkeit nie da gewesener Datenmengen, hat sich, während der letzten beiden Jahrzehnte, die Netzwerkwissenschaft zu einer eigenständigen Forschungsrichtung entwickelt. Mit Wissenschaftlern aus quantitativen Feldern
wie der Informatik, Mathematik und Physik, die Datensätze aus Biologie, den Wirtschaftswissenschaften, Soziologie, Politikwissenschaft und vielen weiteren Anwendungsgebieten untersuchen, stellt die Netzwerkwissenschaft ein Paradebeispiel interdisziplinärer Forschung dar.
Eines der grundlegenden Ziele der Netzwerkwissenschaft ist es, den Zusammenhang zwischen der topologischen Struktur und der Funktion von Netzwerken herauszufinden. Es gibt zahlreiche Hinweise, dass Netz-werke aus den gleichen Bereichen, d.h. Systeme mit ähnlicher Funktion, auch ähnliche Graphstrukturen aufweisen. Es ist allerdings nach wie vor unklar, ob eine ähnliche Graphstruktur generell zu gleicher Funktionsweise führt. Es ist das Ziel der vorliegenden Dissertation, zur Klärung dieser Frage beizutragen. Das Hauptaugenmerk wird hierbei auf der Rolle von Dreiecksstrukturen liegen.
Nach einer allgemeinen Einführung der wichtigsten Grundlagen der Theorie komplexer Netzwerke, wird eine Übersicht über existierende Arbeiten zur Bedeutung von Dreiecksstrukturen gegeben. Eine der größten Herausforderungen bei der Modellierung triadischer Strukturen ist die Tatsache, dass nicht alle Dreiecksbeziehungen in einem Graphen unabhängig voneinander bestimmt werden können, da zwei Knoten an mehreren solcher Dreiecksbeziehungen beteiligt sein können.
Um dieses Problem zu lösen, führen wir, basierend auf sogenannten Steiner-Tripel-Systemen, eine neue Klasse generativer Netzwerkmodelle ein. Steiner-Tripel-Systeme sind Zerlegungen der Knoten eines Graphen in paarfremde Tripel (Steiner-Tripel). Daher können die Konfigurationen auf Steiner-Tripeln unabhängig voneinander gewählt werden, ohne dass dies zu einer Überbestimmung der Netzwerkstruktur führen würde.
Anschließend untersuchen wir die grundlegendste Realisierung dieser neuen Klasse von Netzwerkmodellen, die wir das triadische Zufallsgraph-Modell (engl. triadic random graph model, TRGM) nennen. TRGMs werden durch eine Wahrscheinlichkeitsverteilung über alle möglichen Dreiecksstrukturen parametrisiert. Um ein konkretes Netzwerk zu erzeugen wird für jedes Steiner-Tripel eine Dreiecksstruktur gemäß der Wahrscheinlichkeitsverteilung gezogen und zufällig auf dem Tripel orientiert. Wir berechnen die Knotengradverteilung des TRGM analytisch und finden heraus, dass diese einer Poissonverteilung ähnelt. Des Weiteren
wird gezeigt, dass TRGMs nichttriviale Dreiecksstrukturen aufweisen. Außerdem finden wir unvermeidliche Korrelationen im Auftreten bestimmter Subgraphen, derer man sich bewusst sein sollte. Insbesondere wenn es darum geht, die Bedeutung sogenannter Motive (Strukturen,
die signifikant häufiger als zufällig erwartet auftreten) zu beurteilen. Darüber hinaus wird der starke Einfluss der Wahrscheinlichkeitsverteilung auf den Steiner-Tripeln, auf die generelle Dreiecksstruktur der erzeugten Netzwerke gezeigt. Diese Abhängigkeit ermöglicht es, Netzwerkensembles mit vorgegebener Dreiecksstruktur zu konzipieren. Daher helfen TRGMs dabei, den bestehenden Mangel an generativen Netzwerkmodellen, zur Beurteilung der Bedeutung triadischer Strukturen in Graphen, zu beheben.
Es wird ferner untersucht, wie homogen Motive räumlich über Graphstrukturen verteilt sind. Zu diesem Zweck untersuchen wir das Auftreten von Dreiecksstrukturen in der Umgebung jedes Knotens separat. Um die Struktur individueller Knoten quantitativ erfassen zu können, führen wir einen Algorithmus zur knotenspezifischen Musterauswertung (node-specific pattern mining) ein, der sowohl auf gerichtete, als auch auf Graphen mit positiven und negativen Kanten angewendet werden kann. Bei der Analyse realer Datensätze beobachten wir, dass Motive
in einigen Netzen hochgradig heterogen verteilt, und auf die Umgebung einiger, weniger Knoten beschränkt sind. Darüber hinaus finden wir Hinweise auf die mögliche Fehleranfälligkeit biologischer Systeme auf ein gezieltes Entfernen ebendieser Knoten. Des Weiteren studieren wir ganze Graphen bezüglich der Homogenität und Homophilie ihrer
knotenspezifischen Dreiecksmuster. Erstere beschreibt die Ähnlichkeit der lokalen Dreiecksstrukturen zwischen verschiedenen Knoten. Letztere gibt an, ob sich verbundene Knoten bezüglich ihrer Dreiecksstruktur ähnlicher sind, als nicht verbundene Knoten. Wir stellen fest, dass diese Eigenschaften charakteristisch für die Herkunft der jeweiligen
Netzwerke sind. Darüber hinaus gruppieren wir die Knoten verschiedener Systeme bezüglich der Ähnlichkeit ihrer lokalen Dreiecksstrukturen. Hierzu untersuchen wir das neuronale Netz von C. elegans, das internationale Flugverbindungsnetzwerk, sowie das Netzwerk internationaler
Beziehungen zwischen Staaten. In Letzterem finden wir Hinweise darauf, dass Dreieckskonfigurationen, die nach soziologischen Theorien als unbalanciert gelten, besonders instabil sind.
Schließlich verwenden wir unser TRGM, um Netzwerkensembles mit ähnlicher Dreiecksstruktur bezüglich der Eigenschaften dynamischer Prozesse, die auf ihren Knoten ablaufen, zu untersuchen. Wir konzentrieren uns auf Oszillatoren, die entlang der Kanten der Graphen miteinander gekoppelt sind. Hierbei beobachten wir, dass bestimmte Dreiecksmotive
charakteristische Merkmale im dynamischen Verhalten der Systeme hinterlassen. Dies ist auch der Fall, wenn die Motive in eine größere Netzwerkstruktur eingebettet sind.
| Identifer | oai:union.ndltd.org:uni-wuerzburg.de/oai:opus.bibliothek.uni-wuerzburg.de:11602 |
| Date | January 2015 |
| Creators | Winkler, Marco |
| Source Sets | University of Würzburg |
| Language | English |
| Detected Language | German |
| Type | doctoralthesis, doc-type:doctoralThesis |
| Format | application/pdf |
| Rights | https://creativecommons.org/licenses/by-sa/3.0/de/deed.de, info:eu-repo/semantics/openAccess |
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