Dissertação (mestrado)-Universidade de Brasília, Departamento de Matemática, 2009. / Submitted by samara castro (sammy_roberta7@hotmail.com) on 2010-12-22T16:48:00Z
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2009_JoaoMarceloGdeAlmeida.pdf: 411155 bytes, checksum: 1ca1fdf947590886b2c383f975334fa7 (MD5) / Seja K um anel associativo, comutativo e com unidade e seja LhXi a ´algebra de Lie
livre sobre K, livremente gerada por X = {x1, x2, . . .}. Seja f = f(x1, . . . , xn) 2 LhXi
e seja G uma ´algebra de Lie sobre K. Dizemos que f = 0 ´e uma identidade em G, se
f(g1, . . . , gn) = 0, para todo g1, . . . , gn 2 G. Dois sistemas de identidades {ui = 0 | i 2 I}
e {vj = 0 | j 2 J} s˜ao equivalentes, se toda álgebra de Lie sobre K satisfazendo todas
as identidades ui = 0, satisfaz todas as identidades vj = 0 e vice-versa. Se o sistema de
identidades {ui = 0 | i 2 I} ´e equivalente a algum sistema finito de identidades, então
dizemos que o sistema {ui = 0 | i 2 I} tem uma base finita.
Nesta dissertação, demonstraremos que, sobre um corpo de caracter´ıstica 2, o sistema
de identidades de álgebras de Lie formado pelas identidades [[x1, x2], [x3, x4], x5] = 0 e
[[x1, x2, x3, . . . , xn], [x1, x2]] = 0 (n = 3, 4, . . .) não tem base finita. Provaremos também
que, sobre um corpo infinito K de característica 2, a ´algebra de Lie gl2(K) das matrizes
2 × 2 não tem base finita para suas identidades. Finalmente, mostraremos que a álgebra de
Lie M, de todas as matrizes 3 × 3 sobre Q com a primeira coluna e a terceira linha nulas,
vista como um anel de Lie, não possui base finita para suas identidades. É conhecido que as identidades de M, vista como álgebra de Lie sobre Q, têm base finita. Esta dissertação está baseada nos artigos de Vaughan-Lee, de Krasilnikov e também no livro de Drensky. _________________________________________________________________________________ ABSTRACT / Let K be an associative and commutative unitary ring and let LhXi be the free Lie
algebra over K freely generated by X = {x1, x2, . . .}. Let f = f(x1, . . . , xn) 2 LhXi and
let G be a Lie algebra over K. We say that f = 0 is an identity in G if f(g1, . . . , gn) = 0
for all g1, . . . , gn 2 G. Two systems of identities {ui = 0 | i 2 I} and {vj = 0 | j 2 J} are
equivalent if every Lie algebra over K satisfying all the identities ui = 0 satisfies all the
identities vj = 0 and vice versa. If the system of identities {ui = 0 | i 2 I} is equivalent to
some finite system of identities, we say that the system {ui = 0 | i 2 I} has a finite basis.
In this dissertation, we will demonstrate that, over a field of characteristic 2, the system of
identities of Lie algebras consisting of the identity [[x1, x2], [x3, x4], x5] = 0 and the identities
[[x1, x2, x3, . . . , xn], [x1, x2]] = 0 (n = 3, 4, . . .) has no finite basis. We will prove also that,
over an infinite field K of characteristic 2, the Lie algebra gl2(K) of the 2 × 2 matrices has
no finite basis for its identities. Finally, we will show that the Lie algebra M, of all the 3×3
matrices over Q with the first column and the third row with zeros, viewed as a Lie ring,
has no finite basis for its identities. It is known that the identities of M viewed as a Lie
algebra over Q have a finite basis. This dissertation is based on the articles of Vaughan-Lee
and Krasilnikov and also on Drensky’s book.
| Identifer | oai:union.ndltd.org:IBICT/oai:repositorio.unb.br:10482/6360 |
| Date | 11 December 2009 |
| Creators | Almeida, João Marcelo Gonçalves de |
| Contributors | Krassilnikov, Alexei |
| Source Sets | IBICT Brazilian ETDs |
| Language | Portuguese |
| Detected Language | English |
| Type | info:eu-repo/semantics/publishedVersion, info:eu-repo/semantics/masterThesis |
| Source | reponame:Repositório Institucional da UnB, instname:Universidade de Brasília, instacron:UNB |
| Rights | info:eu-repo/semantics/openAccess |
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