Las álgebras de De Morgan pseudocomplementadas fueron consideradas por primera
vez por A. Romanowska ([66]) quien las denominó pM−álgebras y caracterizó las álgebras
subdirectamente irreducibles finitas. Posteriormente, H. Sankappanavar ([67, 68])
continuó con el estudio de las pM−álgebras examinando las congruencias y caracterizando
todas las subdirectamente irreducibles.
Por otra parte, A. V. Figallo y P. Landini ([23, 21]) con el propósito de presentar
distintas axiomáticas para las álgebra tetravalente modales ([42, 43]), mostraron que las
pM−álgebras que verifican la condición adicional x V~x<_xV x* admiten una estructura
de álgebra tetravalente modal y las denominaron álgebras de De Morgan pseudocomplementadas
modales ó mpM−álgebras, para abreviar.
En esta tesis hacemos un estudio detallado de la variedad de las mpM−álgebras. Al
volumen lo hemos organizado en cuatro capítulos. En el Capítulo I, damos las definiciones
básicas y hacemos un repaso de los resultados más importantes de álgebra universal.
También hemos incluído una breve exposición sobre la teoría de la dualidad de Priestley
para los retículos distributivos acotados y para las p−álgebras ([60, 61, 63]). Por último,
describimos la dualidad de W. Cornish y P. Fowler ([18, 19]) para las álgebras de De
Morgan. Todos estos temas los hemos incluido tanto para facilitar la lectura como para
fijar los conceptos que utilizaremos en los capítulos posteriores.
En el Capítulo II, comenzamos el estudio de las mpM−álgebras. En él abordamos
el problema de caracterizar los miembros subdirectamente irreducibles de esta variedad
para lo cual determinamos, en primer lugar, una dualidad topológica para estas álgebras
la que nos permitió caracterizar al retículo de las congruencias. Cabe señalar que esta
dualidad es utilizada fuertemente a lo largo de todo el trabajo. Además, probamos que
las mpM−álgebras constituyen una variedad localmente finita, semisimple, residualmente
pequeña y residualmente finita. En la última sección de este capítulo obtenemos, con
técnicas algebraicas, otras caracterizaciones de las congruencias a partir de ciertos subconjuntos
especiales del álgebra. Algunos de los resultados anteriores fueron expuestos en
la Reunión Anual de Comunicaciones Científicas de la UMA en el 2004 y el 2006.
En el Capítulo III, y con el propósito de obtener una mayor informaci´on sobre la variedad
mpM de las mpM−álgebras, hacemos un estudio detallado de las congruencias
principales. En primer lugar, indicamos dos descripciones de las mismas por medio de ciertos
subconjuntos del espacio asociado lo que nos permitió concluir que ellas constituyen
un álgebra de Boole. A continuación mostramos, entre otros resultados, que mpM es discriminadora
lo cual nos proporcionó numerosas propiedades de las mpM−congruencias en
general. Posteriormente, probamos que las congruencias principales y booleanas coinciden
y esta afirmación hizo posible determinar el número de congruencias de las mpM−álgebras
finitas. Finalizamos este caíıtulo determinando el polinomio discriminador ternario para
esta variedad y estableciendo una descripci´on ecuacional de las congruencias principales.
Cabe mencionar que algunos de los temas investigados en esta unidad fueron presentados
en el XIII Simposio Latinoamericano de Lógica Matemática, Oaxaca, Méjico en el 2006 y
en la Reunión Anual de Comunicaciones Científicas de la UMA en el 2007.
El Capítulo IV consta de dos secciones. En la primera, nos abocamos al estudio de las
propiedades de las mpM−álgebras finitas y finitamente generadas. En la segunda, determinamos
la estructura de las mpM−álgebras libres con un conjunto finito de generadores
libres y finalmente, indicamos la fórmula que nos permite calcular el cardinal de álgebra
libre con un conjunto finito de generadores libres en función del número de generadores
de la misma. En la Reunión Anual de Comunicaciones Cienificas de la UMA del 2008
fueron expuestos parte de los resultados anteriores.
Alguno de los temas de esta tesis han sido aceptados para su publicación en ([24]). / De Morgan pseudocomplemented algebras were first considered by A. Romanowska
([66]) who called them pM−algebras and characterized the finite subdirectly irreducible
algebras. Later on, H. Sankappanavar ([67, 68]) continued studying pM−algebras by examining
congruences and characterizing all the subdirectly irreducible algebras.
On the other hand, A. V. Figallo and P. Landini ([23, 21]), with the aim of presenting
different axiomatic for tetravalent modal algebras ([42, 43]), they proved that
pM−algebras verifying the additional condition x_V~ x < _ xVx* admit a tetravalent
modal algebra structure. Hence, they called them De Morgan pseudocomplemented modal
algebras, or mpM−algebras, for short.
Our aim in this thesis is to study in deep the variety mpM of mpM−algebras. More
precisely, we have organized this work in four chapters. In Chapter I, basic definitions
are provided and we do also a review of the most important results in universal algebra.
Furthermore, we have also included a brief discussion on Priestley’s dualities for bounded
distributive lattices and p−algebras ([60, 61, 63]). Finally, we describe W. Cornish and P.
Fowler’s duality ([18, 19]) for De Morgan algebras. These topics have been included not
only to simplify the reading but also to fix the notations and the definitions that we will use in this volume.
In Chapter II, we began the study of mpM−algebras. Here, we boarded the problem
of characterizing the subdirectly irreducible members of this variety. To this aim, we
determine a topological duality for these algebras which allowed us to characterize the
congruence lattice.We must point out that this duality is strongly used throughout all this
work. Furthermore, we prove that mpM−algebras constitute a locally finite, semisimple,
residually small and residually finite variety. In the last section of this chapter we obtain,
by means of algebraic techniques, other characterizations of the congruences by means of
special subsets of the algebra. Some of the above results were presented in the Annual
Meeting of the Uni´on Matemática Argentina in 2004 and 2006.
In Chapter III, and in order to obtain more information on the variety mpM, we carried
out a detailed study of the principal congruences. First, we indicate two descriptions
of them by means certain subsets of the associated space to an mpM−algebra, which
allowed us to conclude that they constitute a Boolean algebra. Next we show, among
other results, that mpM is a discriminator variety which also provided us many properties
of mpM−congruences. Later on, we prove that principal and Boolean congruences
coincide and this statement allows us to determine the number of congruences in the finite
mpM−algebras. By the end of this chapter, we determine the ternary discriminator
polynomial for this variety and we also establish an equational description of the principal
congruences. It is worth mentioning that some of the topics presented in this chapter
were previously discussed at the XIII Latin American Symposium on Mathematical Logic,
Oaxaca, Mexico, and in the Annual Meeting of the Unión Matem´atica Argentina in 2006
and 2007 respectively.
Chapter IV consists of 2 sections. In the first one, we focus our study on the properties
of finite and finitely generated mpM−algebras. In the second one, we determine the
structure of the free mpM−algebras with a finite set of free generators. Finally, we indicate
a formula which allows us to calculate the cardinal number of the free mpM−algebras
in terms of the number of the free generators of the algebras. Some of the results of this
chapter were presented at the Annual Meeting of the Uni´on Matem´atica Argentina in
2008,
Some of the topics of this thesis have been accepted for publication in ([24]).
| Identifer | oai:union.ndltd.org:uns.edu.ar/oai:repositorio.bc.uns.edu.ar:123456789/2428 |
| Date | 05 September 2014 |
| Creators | Oliva, Nora Ana |
| Contributors | Ziliani, Alicia N. |
| Publisher | Universidad Nacional del Sur |
| Source Sets | Universidad Nacional del Sur |
| Language | Spanish |
| Detected Language | English |
| Type | Electronic Thesis or Dissertation, Text |
| Rights | 2 |
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