Tese (doutorado)—Universidade de Brasília, Instituto de Ciências Exatas, Departamento de
Matemática, 2013. / Submitted by Alaíde Gonçalves dos Santos (alaide@unb.br) on 2014-01-24T14:32:05Z
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2013_AnaPauladeAraujoChaves.pdf: 908469 bytes, checksum: 5da65a1d4c72139f8bd86997f1cb8eab (MD5) / Seja (fórmula) a sequência de Fibonacci dada por (fórmula) para (fórmula), onde (fórmula) e (fórmula). Existem várias identidades interessantes envolvendo os termos desta sequência, como por exemplo a identidade quadrática (fórmula), para todo (fórmula). Isso nos diz que a soma de quadrados de dois números de Fibonacci consecutivos continua sendo um número de Fibonacci. Tendo em vista estudar o comportamento de somas mais gerais, em 2010, Marques e Togbé mostraram que se (fórmula), então existe apenas uma quantidade finita de números de Fibonacci da forma (fórmula) e, em 2011, Luca e Oyono encontraram todos esses exemplos. Seja (fórmula) a sequência de (fórmula)-bonacci dada pelos (fórmula) valores iniciais (fórmula) e tal que os demais termos são iguais à soma dos (fórmula) termos anteriores. Neste trabalho, estudamos uma generalização do resultado de Luca e Oyono: a equação Diofantina (fórmula). Mostramos que para (fórmula), ao contrário da sequência de Fibonacci, esta equação não possui soluções inteiras positivas (fórmula) e (fórmula) para (fórmula) e (fórmula). Para (fórmula), mostramos, sobre certas condições, que essa equação não possui soluções inteiras não triviais. Além disso, provamos, em particular, que se (fórmula) é uma sequência recorrente linear (sob hipóteses fracas) e (fórmula) para infinitos inteiros (fórmula), então (fórmula) é limitada por uma constante efetivamente calculável, que depende apenas de (fórmula) e dos parâmetros de(fórmula). _______________________________________________________________________________________ ABSTRACT / Let (Fn)n be the Fibonacci sequence given by Fn+2 = Fn+1 + Fn for n ≥ 0, where F0 = 0 and F1 = 1. There are several interesting identities involving this sequence such as the quadratic identity F?+F?= F? for all n≥0. This fact tells that the sum of squares of two consecutive Fibonacci numbers still belongs to the Fibonacci sequence. In order to study the behavior of more general sums, in 2010, Marques e Togbé showed that
if s > 2, then there exist only finitely many Fibonacci numbers of the form
F?+F? and, in 2011, Luca e Oyono found all these examples. Let ? be the k-generalized Fibonacci sequence which is defined by the initial values 0, 0, …, 0,1 (k terms) and such that each term afterwards is the sum of the k preceding terms. In this work, we study a generalization of Luca and
Oyono’s result: the Diophantine equation ? + ? = F? We prove that for s = 2, contrarily to the Fibonacci case, this Diophantine equation has no solution in positive integers n,m and k with m > 1 and
k ≥ 3. For s ≥ 3, we state, under certain conditions, that this Diophantine
equation has no nontrivial solutions. Moreover, we also prove that if (G? is
a linear recurrence sequence (under weak assumptions) and G?....+G?
(Gm)m for infinitely many integers n > 0, then s is bounded by an effectively
computable constant depending only on k and the parameters of Gm.
| Identifer | oai:union.ndltd.org:IBICT/oai:repositorio.unb.br:10482/15042 |
| Date | January 2013 |
| Creators | Chaves, Ana Paula de Araújo |
| Contributors | Ferreira, Diego Marques |
| Source Sets | IBICT Brazilian ETDs |
| Language | Portuguese |
| Detected Language | Portuguese |
| Type | info:eu-repo/semantics/publishedVersion, info:eu-repo/semantics/doctoralThesis |
| Source | reponame:Repositório Institucional da UnB, instname:Universidade de Brasília, instacron:UNB |
| Rights | A concessão da licença deste item refere-se ao termo de autorização impresso assinado pelo autor com as seguintes condições: Na qualidade de titular dos direitos de autor da publicação, autorizo a Universidade de Brasília e o IBICT a disponibilizar por meio dos sites www.bce.unb.br, www.ibict.br, http://hercules.vtls.com/cgi-bin/ndltd/chameleon?lng=pt&skin=ndltd sem ressarcimento dos direitos autorais, de acordo com a Lei nº 9610/98, o texto integral da obra disponibilizada, conforme permissões assinaladas, para fins de leitura, impressão e/ou download, a título de divulgação da produção científica brasileira, a partir desta data., info:eu-repo/semantics/openAccess |
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