La thèse est composée de deux parties.Dans la première partie, nous allons étudier le flot quasi-invariant défini par une équation différentielle stochastique de Stratanovich avec le dérive ayant seulement la BV-régularitésur un espace euclidien, en généralisant des résultats de L. Ambrosio sur l'existence,unicité et stabilité des flots lagrangiens associés aux équations différentielles ordinaires[Invent. Math. 158 (2004), 227{260]. Comme une application d'un résultat de stabilité,nous allons construire une solution explicite à l'equation de transport stochastique enterme de flot stochastique. La différentiabilité approximative du flot sera aussi investie,lorsque le dérive possµede une régularité de Sobolev.Dans la deuxième partie, nous allons généraliser la théorie de DiPerna-Lions aux cas desvariétés riemanniennes complètes. Nous allons utiliser le semi-groupe de la chaleur pourrégulariser des fonctions et des champs de vecteur. L'estimation sur le commutateur seraobtenue par la méthode probabiliste. Une application de cette estimation est de prouverl'unicité des solutions à l'équation de transport à l'aide du concept des solutions renormal-isables. L'équation différentielle ordinaire associée à un champ de vecteur de régularité deSobolev sera enfin résolue en adoptant une méhode due à L. Ambrosio. La fin de cett par-tie consacre à la construction des processus de diffusion, par la méthode de la variation deconstante, sur une variété riemannienne complète, ayant comme générateur, un opérateurelliptique contenant le dérive non-régulier. Pour cela, nous allons donner des conditionssur la courbure pour que le flot horizontal canonique soit un flot de difféomorphismes / The thesis mainly consists of two parts.In the first part, we study the quasi-invariant flow generated by the Stratonovich stochas-tic differential equation with BV drift coefficients in the Euclidean space. We generalizethe results of Ambrosio [Invent. Math. 158 (2004), 227{260] on the existence, uniquenessand stability of regular Lagrangian flows of ordinary differential equations to Stratonovichstochastic differential equations with BV drift coefficients. As an application of the sta-bility result, we construct an explicit solution to the corresponding stochastic transportequation in terms of the stochastic flow. The approximate differentiability of the flow isalso studied when the drift coefficient has some Sobolev regularity.In the second part, we generalize the DiPerna-Lions theory in the Euclidean space to thecomplete Riemannian manifold. We define the commutator on the complete Riemannianmanifold which is a probabilistic version of the one in the DiPerna-Lions theory, andestablish the commutator estimate by the probabilistic method. As a direct applicationof the commutator estimate, we investigate the uniqueness of solutions to the transportequation by the method of the renormalized solution. Following Ambrosio's method, weconstruct the DiPerna-Lions flow on the Riemannian manifold. In order to construct thediffusion process associated to an elliptic operator with irregular drift on the completeRiemannian manifold, we give some conditions which guarantee the strong completenessof the horizontal flow. Finally, we construct the diffusion process with the drift coefficienthaving only Sobolev regularity.Besides, we present a brief introduction of the classical theory on the ordinary differentialequation in the smooth case and the quasi-invariant flow of homeomorphisms under theOsgood condition before the first part; and we recall some basic tools and results whichare widely used throughout the whole thesis after the second part.
| Identifer | oai:union.ndltd.org:theses.fr/2011DIJOS100 |
| Date | 28 April 2011 |
| Creators | Lee, Huaiqian |
| Contributors | Dijon, Beijing Normal University, Fang, Shizan, Wang, Fengyu |
| Source Sets | Dépôt national des thèses électroniques françaises |
| Language | French, English |
| Detected Language | French |
| Type | Electronic Thesis or Dissertation, Text |
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