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Analyse numérique des équations de Bloch-Torrey / Numerical analysis of the Bloch-Torrey equationsMekkaoui, Imen 21 November 2016 (has links)
L’imagerie par résonance magnétique de diffusion (IRMd) est une technique non-invasive permettant d’accéder à l'information structurelle des tissus biologiques à travers l’étude du mouvement de diffusion des molécules d’eau dans les tissus. Ses applications sont nombreuses en neurologie pour le diagnostic de certaines anomalies cérébrales. Cependant, en raison du mouvement cardiaque, l’utilisation de cette technique pour accéder à l’architecture du cœur in vivo représente un grand défi. Le mouvement cardiaque a été identifié comme une des sources majeures de perte du signal mesuré en IRM de diffusion. A cause de la sensibilité au mouvement, il est difficile d’évaluer dans quelle mesure les caractéristiques de diffusion obtenues à partir de l’IRM de diffusion reflètent les propriétés réelles des tissus cardiaques. Dans ce cadre, la modélisation et la simulation numérique du signal d’IRM de diffusion offrent une approche alternative pour aborder le problème. L’objectif de cette thèse est d’étudier numériquement l’influence du mouvement cardiaque sur les images de diffusion et de s’intéresser à la question d’atténuation de l’effet du mouvement cardiaque sur le signal d’IRM de diffusion. Le premier chapitre est consacré à l’introduction du principe physique de l'imagerie par résonance magnétique(IRM). Le deuxième chapitre présente le principe de l’IRM de diffusion et résume l’état de l’art des différents modèles proposés dans la littérature pour modéliser le signal d’IRM de diffusion. Dans le troisième chapitre un modèle modifié de l’équation de Bloch-Torrey dans un domaine qui se déforme au cours du temps est introduit et étudié. Ce modèle représente une généralisation de l’équation de Bloch-Torrey utilisée dans la modélisation du signal d’IRM de diffusion dans le cas sans mouvement. Dans le quatrième chapitre, l’influence du mouvement cardiaque sur le signal d’IRM de diffusion est étudiée numériquement en utilisant le modèle de Bloch-Torrey modifié et un champ de mouvement analytique imitant une déformation réaliste du cœur. L’étude numérique présentée, permet de quantifier l’effet du mouvement sur la mesure de diffusion en fonction du type de la séquence de codage de diffusion utilisée, de classer ces séquences en terme de sensibilité au mouvement cardiaque et d’identifier une fenêtre temporelle par rapport au cycle cardiaque où l’influence du mouvement est réduite. Enfin, dans le cinquième chapitre, une méthode de correction de mouvement est présentée afin de minimiser l’effet du mouvement cardiaque sur les images de diffusion. Cette méthode s’appuie sur un développement singulier du modèle de Bloch-Torrey modifié pour obtenir un modèle asymptotique qui permet de résoudre le problème inverse de récupération puis correction de la diffusion influencée par le mouvement cardiaque. / Diffusion magnetic resonance imaging (dMRI) is a non-invasive technique allowing access to the structural information of the biological tissues through the study of the diffusion motion of water molecules in tissues. Its applications are numerous in neurology, especially for the diagnosis of certain brain abnormalities, and for the study of the human cerebral white matter. However, due to the cardiac motion, the use of this technique to study the architecture of the in vivo human heart represents a great challenge. Cardiac motion has been identified as a major source of signal loss. Because of the sensitivity to motion, it is difficult to assess to what extent the diffusion characteristics obtained from diffusion MRI reflect the real properties of the cardiac tissue. In this context, modelling and numerical simulation of the diffusion MRI signal offer an alternative approach to address the problem. The objective of this thesis is to study numerically the influence of cardiac motion on the diffusion images and to focus on the issue of attenuation of the cardiac motion effect on the diffusion MRI signal. The first chapter of this thesis is devoted to the introduction of the physical principle of nuclear magnetic resonance (NMR) and image reconstruction techniques in MRI. The second chapter presents the principle of diffusion MRI and summarizes the state of the art of the various models proposed in the litera- ture to model the diffusion MRI signal. In the third chapter a modified model of the Bloch-Torrey equation in a domain that deforms over time is introduced and studied. This model represents a generalization of the Bloch-Torrey equation used to model the diffusion MRI signal in the case of static organs. In the fourth chapter, the influence of cardiac motion on the diffusion MRI signal is investigated numerically by using the modified Bloch-Torrey equation and an analytical motion model mimicking a realistic deformation of the heart. The numerical study reported here, can quantify the effect of motion on the diffusion measurement depending on the type of the diffusion coding sequence. The results obtained allow us to classify the diffusion encoding sequences in terms of sensitivity to the cardiac motion and identify for each sequence a temporal window in the cardiac cycle in which the influence of motion is reduced. Finally, in the fifth chapter, a motion correction method is presented to minimize the effect of cardiac motion on the diffusion images. This method is based on a singular development of the modified Bloch-Torrey model in order to obtain an asymptotic model of ordinary differential equation that gives a relationship between the true diffusion and the diffusion reconstructed in the presence of motion. This relationship is then used to solve the inverse problem of recovery and correction of the diffusion influenced by the cardiac motion.
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Etudes théorique et numérique d'un modèle non-stationnaire de catalyseurs à passages cylindriquesHoernel, Jean-David 19 December 2002 (has links) (PDF)
L'objectif de ce travail est d'étudier un modèle décrivant les évolutions spatiale et temporelle des concentrations de différentes espèces chimiques sous forme gazeuse et de la température dans un canal cylindrique et sur sa paroi extérieure. Il s'agit d'un système couplant des équations aux dérivées partielles paraboliques décrivant l'évolution spatiale des espèces chimiques et de la température dans le cylindre avec une équation aux dérivées partielles et des équations différentielles ordinaires décrivant l'évolution temporelle des mêmes espèces chimiques et de la température sur la paroi. Ce système présente la particularité supplémentaire de coupler les équations sur la paroi entre elles.<br /> Nous établissons l'existence et l'unicité de la solution, ainsi que quelques propriétés qualitatives de cette solution, en particulier l'existence de bornes supérieures et inférieures. Nous étudions également le comportement limite de la solution quand le temps tend vers l'infini.<br /> Nous mettons ensuite en oeuvre une méthode numérique permettant d'obtenir des courbes décrivant le comportement de la solution.
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Approche probabiliste des particules collantes et système de gaz sans pressionMoutsinga, Octave 16 June 2003 (has links) (PDF)
A chaque instant $t$, nous construisons la dynamique des particules collantes dont la masse est distribuée initialement suivant une fonction de répartition $F_0$, avec une vitesse $u_0$, à partir de l'enveloppe convexe $H(\cdot,t)$ de la fonction $m\in (0,1)\mapsto \int_a^m\big( F_0^(-1)(z) + tu_0\big(F_0^(-1)(z)\big)\big)dz$. Ici, $F_0^(-1)$ est l'une des deux fonctions inverses de $F_0$. Nous montrons que les deux processus stochastiques $X_t^-(m)= \partial_m^-H(m,t),\; X_t^+(m) = \partial_m^+H(m,t)$, définis sur l'espace probabilisé $([0, 1], (\cal B), \lambda)$, sont indistinguables et ils modélisent les trajectoires des particules. Le processus $X_t:= X_t^- = X_t^+$ est une solution de l'équation $(EDS): \; \frac(dX_t)(dt) =\E[ u_0(X_0)/X_t]$, telle que $P(X_0 \leq x) = F_0(x)\,\,\forall x$. L'inverse $M_t:= M(\cdot,t)$ de la fonction $m\mapsto \partial_mH(m,t)$ est la fonction de répartition de la masse à l'instant $t$. Elle est aussi la fonction de répartition de la variable aléatoire $X_t$. On montre l'existence d'un flot $(\phi(x,t,M_s, u_s))_( s < t)$ tel que $X_t= \phi(X_s,t,M_s,u_s)$, où $u_s(x) = \E[ u_0(X_0)/X_s = x]$ est la fonction vitesse des particules à l'instant $s$. Si $\frac(dF_0^n)(dx)$ converge faiblement vers $\frac(dF_0)(dx)$, alors la suite des flots $\phi(\cdot,\cdot,F_0^n,u_0)$ converge uniformément, sur tout compact, vers $\phi(\cdot,\cdot,F_0,u_0)$. Ensuite, nous retrouvons et étendons certains résultats des équations aux dérivées partielles, à savoir que la fonction $(x,t)\mapsto M(x,t)$ est la solution entropique d'une loi de conservation scalaire de donnée initiale $F_0$, et la famille $\big(\rho(dx,t) = P(X_t\in dx),\, u(x,t) = \E[ u_0(X_0)/X_t = x]\big)_(t >0)$ est une solution faible du système de gaz sans pression de données initiales $\frac(dF_0(x))(dx), u_0$. Cette thèse contient aussi d'autres solutions de l'équation différentielle stochastique $(EDS)$ ci-dessus.
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Optimisation Globale Déterministe Garantie sous Contraintes Algébriqueset Différentielles par Morceaux / Guaranteed Deterministic Global Optimization using Constraint Programming through Algebraic, Functional and Piecewise Differential ConstraintsJoudrier, Hugo 19 January 2018 (has links)
Ce mémoire présente une approche basée sur des méthodes garanties pour résoudre des problèmes d’optimisation de systèmes dynamiques multi-physiques. Ces systèmes trouvent des applications directes dans des domaines variés tels que la conception en ingéniérie, la modélisation de réactions chimiques, la simulation de systèmes biologiques ou la prédiction de la performance sportive.La résolution de ces problèmes d’optimisation s’effectue en deux phases. La première consiste à mettre le problème en équations sous forme d’un modèle mathématique constitué d’un ensemble de variables, d’un ensemble de contraintes algébriques et fonctionelles ainsi que de fonctions de coût. Celles-ci sont utilisées lors de la seconde phase qui consiste à d’extraire du modèle les solutions optimales selon plusieurs critères (volume, poids, etc).Les contraintes algébriques permettent de manipuler des grandeurs statiques (quantité, taille, densité, etc). Elles sont non linéaires, non convexes et parfois discontinues.Les contraintes fonctionnelles permettent de manipuler des grandeurs dynamiques. Ces contraintes peuvent être relativement simples comme la monotonie ou la périodicité, mais aussi bien plus complexe par la prise en compte de contraintes différentielles simples ou définies par morceaux. Les équations différentielles sont utilisées pour modéliser des comportements physico-chimiques (magnétiques, thermiques, etc) et d’autres caractéristiques qui varient lors de l’évolution du système.Il existe plusieurs niveaux d’approximation pour chacune de ces deux phases. Ces approximations donnent des résultats pertinents, mais elles ne permettent pas de garantir l’optimalité ni la réalisabilité des solutions.Après avoir présenté un ensemble de méthodes garanties permettant de résoudre de manière garantie des équations différentielles ordinaires, nous formalisons un modèle particulier de systèmes hybrides sous la forme d’équations différentielles ordinaires par morceaux. A l’aide de plusieurs preuves et théorèmes nous étendons la première méthode de résolution pour résoudre de manière garantie ces équations différentielles par morceaux. Dans un second temps, nous intégrons ces deux méthodes au sein d’un module de programmation par contracteurs, que nous avons implémenté. Ce module basé sur des méthodes garantie permet de résoudre des problèmes de satisfaction de contraintes algébriques et fonctionnelles. Ce module est finalement utilisé dans un algorithme d’optimisation globale déterministe modulaire permettant de résoudre les problèmes considérés. / In this thesis a set of tools based on guaranteed methods are presented in order to solve multi-physics dynamic problems. These systems can be applied in various domains such that engineering design process, model of chemical reactions, simulation of biological systems or even to predict athletic performances.The resolution of these optimization problems is made of two stages. The first one consists in defining a mathematical model by setting up the equations for the problem. The model is made of a set of variables, a set of algebraic and functional constraints and cost functions. The latter are used in the second stage in order to extract the optimal solutions from the model depending on several criteria (volume, weight, etc).Algebraic constraints are used to describe the static properties of the system (quantity, size, density, etc). They are non-linear, non-convex and sometimes discontinuous. Functional constraints are used to manipulate dynamic quantities. These constraints can be quite simple such as monotony or periodicity or they can be more complex such as simple or piecewise differential constraints. Differential equations are used to describe physico-chemical properties (magnetic, thermal, etc) and other features evolving with the component use. Several levels of approximation exist for each of these two stages. These approximations give some relevant results but they do not guarantee the feasibility nor the optimality of the solutions.After presenting a set of guaranteed methods in order to perform the guaranteed integration of ordinary differential equations, a peculiar type of hybrid system that can be modeled with piecewise ordinary differential equation is considered. A new method that computes guaranteed integration of these piecewise ordinary differential equations is developed through an extension of the initial algorithm based on several proofs and theorems. In a second step these algorithms are gathered within a contractor programming module that have been implemented. It is used to solve algebraic and functional constraint satisfaction problems with guaranteed methods. Finally, the considered optimization problems are solved with a modular deterministic global optimization algorithm that uses the previous modules.
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Solutions presque automorphes et S asymptotiquement ω– périodiques pour une classe d’équations d’évolution / Almost automorphic and S asymptotically omega-periodic solutions for a class of evolution equationsDimbour, William 14 May 2013 (has links)
Ce travail de thèse est consacré à l’étude d’équations d’évolution et d’équations différentielles à argument constant par morceaux. L’étude des équations différentielles à argument constant par morceaux est un domaine important car ces équations ont la structure de système dynanmique de longueur constante. La continuité des solutions conduit à une relation de récurrence entre les valeurs de cette dernière entre les points n et n+1, où n est un entier relatif quelconque. Par conséquent les équations différentielles à argument constant par morceaux combinent à la fois les propriétés des équations différentielles et des équations aux différences. Nous étudierons l’existence de solutions presque automorphes et S-asymptotiquement omega-périodiques d’équations d’évolutions et d’équations à argument constant par morceaux. L’étude de solutions presque automorphes et S’asymptotiquement omega periodiques est motivé par le fait que ces fonctions généralisent celle des fonctions périodiques. Nous obtiendrons donc des résultats concernant l’existence et l’unicité de solutions presque automorphes et S asymptotiquement omega périodiques de plusieurs équations d’évolutions. Cette problématique sera notamment étudiée dans le cadre des équations d’évolutions appartenant à la classe des équations différentielles à argument constant par morceaux. / This thesis deals with the study of evolution equations and differential equations with piecewise constant argument. Studies of such equations were motivated by the fact that they represent a hybrid of discrete and continuous dynamical systems and combine the properties of both differential and differential-difference equations. We study the existence of almost automorphic solutions and S asymptotically omega periodic solution of evolution equations and differential equations with piecewise constant argument. The study of almost automorphic and S asymptotically omega periodic functions is motivated by the fact that these functions generalize the concept of periodic functions. Therefore, we obtain results about existence and unicity of almost automorphic and S asymptotic omega periodic solution of evolution equations. We will study this problem considering evolution equations who belong to a class of differential equation with piecewise constant argument.
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Schémas d'intégration dédiés à l'étude, l'analyse et la synthèse dans le formalisme Hamiltonien à ports / Energy preserving discretization of port-Hamiltonian systemsAoues, Saïd 04 December 2014 (has links)
Ces travaux de thèse traitent de l'approximation en dimension finie de système de dimension infinie. La classe considérée est celle des systèmes hamiltoniens à ports. Nous étudions dans un premier temps les systèmes d'équations différentielles ordinaires. Sur la base d'un intégrateur énergétique, nous définissons une classe de dynamiques passives discrètes qui est invariante par interconnexion. Nous obtenons alors des conditions de stabilité (LMI) pour des dynamiques en réseau en présence de retards et d'incertitudes, et proposons une méthode de synthèse énergétique stabilisante. Ces développements ont été validés expérimentalement par la mise en oeuvre d'une commande énergétique sur un convertisseur de puissance (Buck). Nous étudions ensuite le formalisme hamiltonien en dimension infinie. Nous proposons une approximation qui combine une semi-discrétisation et un intégrateur énergétique. La composabilité mixte est étudiée et une méthode de synthèse IDA-PBC a été développée. L'ensemble des résultats obtenus sont illustrés numériquement dans le manuscrit. / This thesis work dealing with finite dimensional approximation of infinite dimension system. The class considered is that of Hamiltonian systems in ports. We study initially ordinary differential equations systems. Based on an energy integrator, we define a class of discrete passive dynamics is invariant interconnection. We obtain the stability conditions (LMI) for dynamic network in the presence of delays and uncertainties, and propose a method of stabilizing energy synthesis. These developments were experimentally validated by the implementation of an energy control a power converter (Buck). We then study the Hamiltonian formalism in infinite dimensions. We offer an approximation that combines a semi-discretization and an energy integrator. The mixed composability is studied and a method of synthesis IDA-PBC was developed. All the obtained results are numerically illustrated in the manuscript.
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Flots quasi-invariants associés aux champs de vecteur non réguliers / Quasi-invariant flows associated with irregular vector fieldsLee, Huaiqian 28 April 2011 (has links)
La thèse est composée de deux parties.Dans la première partie, nous allons étudier le flot quasi-invariant défini par une équation différentielle stochastique de Stratanovich avec le dérive ayant seulement la BV-régularitésur un espace euclidien, en généralisant des résultats de L. Ambrosio sur l'existence,unicité et stabilité des flots lagrangiens associés aux équations différentielles ordinaires[Invent. Math. 158 (2004), 227{260]. Comme une application d'un résultat de stabilité,nous allons construire une solution explicite à l'equation de transport stochastique enterme de flot stochastique. La différentiabilité approximative du flot sera aussi investie,lorsque le dérive possµede une régularité de Sobolev.Dans la deuxième partie, nous allons généraliser la théorie de DiPerna-Lions aux cas desvariétés riemanniennes complètes. Nous allons utiliser le semi-groupe de la chaleur pourrégulariser des fonctions et des champs de vecteur. L'estimation sur le commutateur seraobtenue par la méthode probabiliste. Une application de cette estimation est de prouverl'unicité des solutions à l'équation de transport à l'aide du concept des solutions renormal-isables. L'équation différentielle ordinaire associée à un champ de vecteur de régularité deSobolev sera enfin résolue en adoptant une méhode due à L. Ambrosio. La fin de cett par-tie consacre à la construction des processus de diffusion, par la méthode de la variation deconstante, sur une variété riemannienne complète, ayant comme générateur, un opérateurelliptique contenant le dérive non-régulier. Pour cela, nous allons donner des conditionssur la courbure pour que le flot horizontal canonique soit un flot de difféomorphismes / The thesis mainly consists of two parts.In the first part, we study the quasi-invariant flow generated by the Stratonovich stochas-tic differential equation with BV drift coefficients in the Euclidean space. We generalizethe results of Ambrosio [Invent. Math. 158 (2004), 227{260] on the existence, uniquenessand stability of regular Lagrangian flows of ordinary differential equations to Stratonovichstochastic differential equations with BV drift coefficients. As an application of the sta-bility result, we construct an explicit solution to the corresponding stochastic transportequation in terms of the stochastic flow. The approximate differentiability of the flow isalso studied when the drift coefficient has some Sobolev regularity.In the second part, we generalize the DiPerna-Lions theory in the Euclidean space to thecomplete Riemannian manifold. We define the commutator on the complete Riemannianmanifold which is a probabilistic version of the one in the DiPerna-Lions theory, andestablish the commutator estimate by the probabilistic method. As a direct applicationof the commutator estimate, we investigate the uniqueness of solutions to the transportequation by the method of the renormalized solution. Following Ambrosio's method, weconstruct the DiPerna-Lions flow on the Riemannian manifold. In order to construct thediffusion process associated to an elliptic operator with irregular drift on the completeRiemannian manifold, we give some conditions which guarantee the strong completenessof the horizontal flow. Finally, we construct the diffusion process with the drift coefficienthaving only Sobolev regularity.Besides, we present a brief introduction of the classical theory on the ordinary differentialequation in the smooth case and the quasi-invariant flow of homeomorphisms under theOsgood condition before the first part; and we recall some basic tools and results whichare widely used throughout the whole thesis after the second part.
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Quelques problèmes de stabilité et de bifurcation des solides visqueuxAbed-Meraim, Farid 07 May 1999 (has links) (PDF)
Ces travaux de thèse sont composés principalement de deux grandes parties de volumes inégaux dont voici le résumé des contenus : Partie I : Elle concerne les problèmes de stabilité et de bifurcation rencontrés dans les matériaux indépendants du temps physique (i.e., élastiques ou élasto-plastiques). Une analyse approfondie et détaillée des différentes études dans ce domaine nous permet de faire une présentation originale et synthétique de la théorie de la stabilité et de la bifurcation. Une illustration de cette théorie est ensuite donnée à travers une collaboration industrielle avec la SNECMA. On y effectue des simulations numériques du formage des aubes de réacteurs d'avions accompagnées d'analyses des états critiques de flambage. Les conclusions de ces simulations montrent clairement la nécessité de tenir compte du comportement visqueux du matériau et motivent ainsi la seconde partie de la thèse. Partie II : La deuxième partie des travaux de thèse est la plus importante quant au volume et au fond. Elle concerne les problèmes de stabilité des matériaux dépendant du temps physique (i.e., visco-élastiques ou visco-plastiques). L'objectif de cette étude est double : D'une part, une modélisation théorique du problème de stabilité des solides visqueux est proposée. Cette modélisation a pour but de poser le problème étudié comme un problème de stabilité de l'évolution quasi statique du solide visqueux considéré. En effet, l'absence d'équilibres pour de telles structures visqueuses nous amène naturellement à étudier la stabilité de leurs évolutions quasi statiques. Ces dernières dépendent bien entendu de la vitesse du chargement, ce qui constitue une source de difficultés dans une telle analyse. Cette façon de poser le problème en termes de stabilité de trajectoires est, à notre connaissance, originale et généralise la notion plus classique de la stabilité d'un équilibre. Elle consiste, en quelque sorte, à mesurer la sensibilité des mouvements aux perturbations extérieures. D'autre part, la recherche de critères assurant la stabilité de l'évolution visqueuse est menée en étroite liaison avec les résultats mathématiques relatifs aux équations différentielles non autonomes. Il est mis en évidence, notamment, que la principale difficulté dans cette analyse vient du caractère non autonome des équations différentielles régissant l'évolution quasi statique visqueuse. Les conditions suffisantes de stabilité auxquelles on aboutit sont obtenues principalement par deux méthodes. La première consiste à construire des fonctionnelles de Lyapunov adéquates à la physique du problème ou à utiliser la méthode de linéarisation autour de la réponse quasi statique. L'autre démarche est plus directe et permet d'établir le critère de stabilité de l'évolution par des considérations de continuité de la réponse par rapport aux données initiales. Cette deuxième démarche a l'avantage de s'appliquer aussi bien aux évolutions visco-plastiques qu'aux évolutions élasto-plastiques. Enfin, l'application de ces différents résultats aux modèles de tiges de Shanley et pour le cas des poutres permet d'illustrer notre méthodologie sur des exemples concrets et de comprendre la portée des critères de stabilité ainsi obtenus.
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