Cette thèse porte sur l’étude des familles de polynômes orthogonaux et leurs liens avec les modèles
exactement résolubles. Elle se décline en deux parties. Dans la première, on caractérise quatre
nouvelles familles de polynômes orthogonaux à l’aide de processus limites appliqués à des familles
appartenant aux schéma d’Askey et de Bannai-Ito. Des troncations singulières des polynômes de
Wilson et d’Askey-Wilson sont considérées. Deux premières extensions bivariées de polynômes
appartenant au tableau de Bannai-Ito sont également introduites. La deuxième partie présente
quatre modèles exactement résolubles en lien avec la théorie des polynômes orthogonaux. Les
propriétés de transfert parfait d’information quantique et de partage d’intrication d’un modèle de
chaîne de spin XX dont les couplage sont liés aux polynômes de para-Racah sont examinées. Deux
modèles superintégrables contenant des opérateurs de réflexions sont proposés. Leurs solutions
sont obtenues et leurs symétries s’encodent respectivement dans l’algèbre de Bannai-Ito de rang
deux et de rang arbitraire ce qui mène à conjecturer l’apparition des polynômes de Bannai-Ito
multivariés comme coefficients de connection. Finalement, par la théorie des représentations de la
superalgèbre osp(1|2), deux identités de convolution pour des familles de polynômes du tableau de
Bannai-Ito sont offertes. Une réalisation en termes d’opérateurs de Dunkl conduit à une fonction
génératrice bilinéaire pour les polynômes de Big −1 Jacobi. / This thesis is concerned with the study of families of orthogonal polynomials and their connection
to exactly solvable models. It comprises two parts. In the first one, four novel families of orthogonal
polynomials are caracterized through limit processes applied to families belonging to the Askey
and Bannai-Ito schemes. Singular truncations of the Wilson and Askey-Wilson polynomials are
considered. The first two bivariate extensions of families of the Bannai-Ito tableau are also
introduced. The second part presents four exactly solvable models connected to the theory of
orthogonal polynomials. The perfect transfer of quantum information and entanglement generation
properties of an XX spin chain model whose couplings are linked to the para-Racah polynomials are
examined. Two superintegrable models containing reflexion operators are proposed. Their solutions
are obtained and their symmetries are encoded respectively in the rank two and arbitrary rank
Bannai-Ito algebra which leads to conjecture the apparition of multivariate Bannai-Ito polynomials
as overlaps. Finally, via the representation theory of the osp(1|2) Lie superalgebra, two convolution
identities for families of orthogonal polynomials of the Bannai-Ito tableau are offered. Realizations
in terms of Dunkl operators lead to a bilinear generating function for the Big −1 Jacobi polynomials.
| Identifer | oai:union.ndltd.org:umontreal.ca/oai:papyrus.bib.umontreal.ca:1866/23476 |
| Date | 06 1900 |
| Creators | Lemay, Jean-Michel |
| Contributors | Vinet, Luc |
| Source Sets | Université de Montréal |
| Language | fra |
| Detected Language | French |
| Type | Thèse ou mémoire / Thesis or Dissertation |
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