Soit q ⩾ 2 une puissance première fixe. L’objectif principal de cette thèse est d’étudier le comportement
asymptotique de la fonction arithmétique Π_q(n,k) comptant le nombre de polynômes
moniques de degré n et ayant exactement k facteurs irréductibles (avec multiplicité) sur le corps
fini F_q. Warlimont et Car ont montré que l’objet Π_q(n,k) est approximativement distribué de
Poisson lorsque 1 ⩽ k ⩽ A log n pour une constante A > 0. Plus tard, Hwang a étudié la
fonction Π_q(n,k) pour la gamme complète 1 ⩽ k ⩽ n. Nous allons d’abord démontrer une formule
asymptotique pour Π_q(n,k) en utilisant une technique analytique classique développée
par Sathe et Selberg. Nous reproduirons ensuite une version simplifiée du résultat de Hwang
en utilisant la formule de Sathe-Selberg dans le champ des fonctions. Nous comparons également
nos résultats avec ceux analogues existants dans le cas des entiers, où l’on étudie tous les
nombres naturels jusqu’à x avec exactement k facteurs premiers. En particulier, nous montrons
que le nombre de polynômes moniques croît à un taux étonnamment plus élevé lorsque k est un
peu plus grand que logn que ce que l’on pourrait supposer en examinant le cas des entiers.
Pour présenter le travail ci-dessus, nous commençons d’abord par la théorie analytique des
nombres de base dans le contexte des polynômes. Nous introduisons ensuite les fonctions arithmétiques
clés qui jouent un rôle majeur dans notre thèse et discutons brièvement des résultats
bien connus concernant leur distribution d’un point de vue probabiliste. Enfin, pour comprendre
les résultats clés, nous donnons une discussion assez détaillée sur l’analogue de champ de fonction
de la formule de Sathe-Selberg, un outil récemment développé par Porrit et utilisons ensuite
cet outil pour prouver les résultats revendiqués. / Let q ⩾ 2 be a fixed prime power. The main objective of this thesis is to study the asymptotic
behaviour of the arithmetic function Π_q(n,k) counting the number of monic polynomials that
are of degree n and have exactly k irreducible factors (with multiplicity) over the finite field
F_q. Warlimont and Car showed that the object Π_q(n,k) is approximately Poisson distributed
when 1 ⩽ k ⩽ A log n for some constant A > 0. Later Hwang studied the function Π_q(n,k) for the
full range 1 ⩽ k ⩽ n. We will first prove an asymptotic formula for Π_q(n,k) using a classical
analytic technique developed by Sathe and Selberg. We will then reproduce a simplified version
of Hwang’s result using the Sathe-Selberg formula in the function field. We also compare our
results with the analogous existing ones in the integer case, where one studies all the natural
numbers up to x with exactly k prime factors. In particular, we show that the number of monic
polynomials grows at a surprisingly higher rate when k is a little larger than logn than what one
would speculate from looking at the integer case. To present the above work, we first start with basic analytic number theory in the context of polynomials. We then introduce the key arithmetic functions that play a major role in our thesis and briefly discuss well-known results concerning their distribution from a probabilistic
point of view. Finally, to understand the key results, we give a fairly detailed discussion on the
function field analogue of the Sathe-Selberg formula, a tool recently developed by Porrit and
subsequently use this tool to prove the claimed results.
| Identifer | oai:union.ndltd.org:umontreal.ca/oai:papyrus.bib.umontreal.ca:1866/27964 |
| Date | 08 1900 |
| Creators | Datta, Arghya |
| Contributors | Granville, Andrew, Koukoulopoulos, Dimitrios |
| Source Sets | Université de Montréal |
| Language | English |
| Detected Language | English |
| Type | thesis, thèse |
| Format | application/pdf |
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