Titre de l'écran-titre (visionné le 13 novembre 2023) / Dans les dernières années, un analogue non linéaire aux séries de Fourier a intéressé plusieurs mathématiciens. Ce dernier permet d'approximer un signal par une somme de termes dont les composantes représentent la fréquence et l'amplitude. Il s'agit du déroulement de Blaschke de fonctions analytiques introduit par Coifman, ou développement de Fourier adaptatif. L'idée de Coifman a été de factoriser toutes les racines dans le disque unité en interprétant les monômes z ↦ zⁿ présents dans la série de Taylor comme des produits de Blaschke. Il a aussi utilisé la factorisation de Blaschke pour les fonctions analytiques sur un voisinage du disque unité. Ce développement en série a été appliqué à plusieurs autres problèmes depuis, car il présente de nombreux avantages sur les séries de Fourier classiques. Néanmoins, la question de convergence de cette représentation en série est un problème majeur depuis plusieurs décennies. On sait seulement qu'il y a convergence de la série dans certains sous-espaces de H² avec poids et, par des résultats récents, dans les espaces de Hardy. Dans ce mémoire, on présente un déroulement de fonctions dans les espaces de Hilbert à noyau reproduisant et dans les espaces de Hardy qui est une généralisation du déroulement de Blaschke et qui est inspiré par la théorie des opérateurs et les espaces de de Branges-Rovnyak. Pour ce faire, on développe d'abord les notions préalables de l'analyse complexe, harmonique et fonctionnelle. Nos résultats principaux sont des théorèmes de convergence pour ces développements en série. Quelques applications et exemples sont aussi présentés. / Over the last few years, many mathematicians became interested in a nonlinear analogue of Fourier series that allows them to approximate a signal by a sum of terms whose components represent frequency and amplitude. It is the Blaschke unwinding series introduced by Coifman, or adaptive Fourier decomposition. Coifman's idea was to factor all the roots in the unit disk by thinking of the monomials z ↦ zⁿ in the Taylor series as Blaschke products. He also used the Blaschke factorization for analytic functions in a neighbourhood of the unit disk. Because it has many advantages over the classical Fourier series, this series expansion has been used in several other problems since. Yet, the question of convergence of the series has remained a major problem for a few decades. We only know that it converges in certain weighted subspaces of H² and, by recent work, in Hardy spaces. In this thesis, we introduce an expansion scheme in reproducing kernel Hilbert spaces and Hardy spaces. It is a generalization of the Blaschke unwinding series expansion which is motivated by operator theory and de Branges-Rovnyak spaces. To do this, we first introduce the necessary background material in complex analysis, harmonic analysis, and functional analysis. Our main results are convergence theorems for these series expansions. We also present some applications and examples.
| Identifer | oai:union.ndltd.org:LAVAL/oai:corpus.ulaval.ca:20.500.11794/129163 |
| Date | 26 March 2024 |
| Creators | Verreault, William |
| Contributors | Mashreghi, Javad |
| Source Sets | Université Laval |
| Language | French |
| Detected Language | French |
| Type | COAR1_1::Texte::Thèse::Mémoire de maîtrise |
| Format | 1 ressource en ligne (v, 55 pages), application/pdf |
| Rights | http://purl.org/coar/access_right/c_abf2 |
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