Titre de l'écran-titre (visionné le 13 novembre 2023) / Dans les dernières années, un analogue non linéaire aux séries de Fourier a intéressé plusieurs mathématiciens. Ce dernier permet d'approximer un signal par une somme de termes dont les composantes représentent la fréquence et l'amplitude. Il s'agit du déroulement de Blaschke de fonctions analytiques introduit par Coifman, ou développement de Fourier adaptatif. L'idée de Coifman a été de factoriser toutes les racines dans le disque unité en interprétant les monômes z ↦ zⁿ présents dans la série de Taylor comme des produits de Blaschke. Il a aussi utilisé la factorisation de Blaschke pour les fonctions analytiques sur un voisinage du disque unité. Ce développement en série a été appliqué à plusieurs autres problèmes depuis, car il présente de nombreux avantages sur les séries de Fourier classiques. Néanmoins, la question de convergence de cette représentation en série est un problème majeur depuis plusieurs décennies. On sait seulement qu'il y a convergence de la série dans certains sous-espaces de H² avec poids et, par des résultats récents, dans les espaces de Hardy. Dans ce mémoire, on présente un déroulement de fonctions dans les espaces de Hilbert à noyau reproduisant et dans les espaces de Hardy qui est une généralisation du déroulement de Blaschke et qui est inspiré par la théorie des opérateurs et les espaces de de Branges-Rovnyak. Pour ce faire, on développe d'abord les notions préalables de l'analyse complexe, harmonique et fonctionnelle. Nos résultats principaux sont des théorèmes de convergence pour ces développements en série. Quelques applications et exemples sont aussi présentés. / Over the last few years, many mathematicians became interested in a nonlinear analogue of Fourier series that allows them to approximate a signal by a sum of terms whose components represent frequency and amplitude. It is the Blaschke unwinding series introduced by Coifman, or adaptive Fourier decomposition. Coifman's idea was to factor all the roots in the unit disk by thinking of the monomials z ↦ zⁿ in the Taylor series as Blaschke products. He also used the Blaschke factorization for analytic functions in a neighbourhood of the unit disk. Because it has many advantages over the classical Fourier series, this series expansion has been used in several other problems since. Yet, the question of convergence of the series has remained a major problem for a few decades. We only know that it converges in certain weighted subspaces of H² and, by recent work, in Hardy spaces. In this thesis, we introduce an expansion scheme in reproducing kernel Hilbert spaces and Hardy spaces. It is a generalization of the Blaschke unwinding series expansion which is motivated by operator theory and de Branges-Rovnyak spaces. To do this, we first introduce the necessary background material in complex analysis, harmonic analysis, and functional analysis. Our main results are convergence theorems for these series expansions. We also present some applications and examples.

Thèse (Ph. D.)--Université Laval, 2008. / Bibliogr.: f. [83]-85. Publié aussi en version électronique dans la Collection Mémoires et thèses électroniques.

Dans cette thèse, nous nous sommes intéressés à divers problèmes mettant en oeuvre des structures algébriques de certains anneaux fonctionnels, en particulier dans l'espace H infini des fonctions holomorphes bornées dans le disque unité, dans l'algèbre de Sarason H infini + C et dans C(X,t)={fEC(X) : fot=f}, avec X un espace compact séparé et t une involution topologique sur X. Plus précisément, nous avons caractérisé les idéaux radicaux finiment engendrés dans H infini + C. En second lieu, nous avons démontré que le rang stable absolu de C(X,t) coïncide avec le rang stable Bass et topologique de cette dernière. En dernier lieu, nous nous sommes intéressés au problème de la couronne généralisé dans H infini / In this thesis, we are interested in various problems of algebraic structures of some functional rings, in particular in the space H infinity of bounded analytic functions in the unit disc, in the Sarason algebra H infinity + C and in C(X,t)={fEC(X) : fot=f} with X compact Hausdorff space and t a topological involution on X. More precisely, we have characterized the finitely generated radical ideals in H infinity + C. Secondly, we have demonstrated that the absolute stable rank of C (X, t) coincides with Bass stable rank and topological stable rank. Finally, we are interested in the generalized corona problem in H infinity

Ce travail s'inscrit dans le cadre général de la théorie des espaces de fonctions holomorphes du disque unité. Depuis son apparution au début du 20e siècle cette théorie a retenu l 'attention des analystes. Grâce à leurs travaux, les propriétés et les connexions de ces espaces avec des sujets variés en analyse complexe et en théorie des opérateurs sont maintenant largement connues. Malgré tous les progrès faits, il reste encore des problèmes ouverts par rapport à ces espaces qui sont faciles à énoncer mais extrêmement difficiles à résoudre. La première partie de cette thèse porte sur les moyennes intégrales des dérivées logarithmiques des produits de Blaschke. Plus précisément , nous allons établir de nouvelles estimations pour les moyennes de Hardy et de Bergman pondérées du rapport B(ℓ) / B d 'un produit de Blaschke B qui divise sa ℓ > ou = 1, lorsque les zéros de B satisfont une condition de séparation de type hyperbolique. Ensuite, nous allons montrer que nos estimations entraînent et généralisent les résultats classiques connus sur ces moyennes. Notre approche est basée sur une technique qui a été récemment dévéloppée par Javad Mashreghi , mon directeur de thèse, et Emmanuel Fricain. Dans la deuxième partie de cette thèse, nous allons aborder la question de la caractérisation des zéros de Pespace de Dirichlet classique V. En fait, cette question est extrêmement difficile et reste toujours ouverte. Cependant, en procédant par une nouvelle approche, nous allons obtenir des conditions suffisantes pour qu'une suite soit une suite de zéros pour V. De plus, nous allons donner une caractérisation de certains sous-ensembles du cercle unité, appelés les enselnbles de Carleson , en termes de leurs sous-suites convergentes. Cette caractérisation donne lieu à quelques résultats intéressants sur les zéros de V. Dans un premier temps, nous allons obtenir une caractérisation des sous-ensembles E du cercle unité qui ont la propriété suivante: toute suite de points dont les arguments sont dans E et qui est une suite de Blaschke, est nécessairement une suite de zéros pour V. Dans un deuxième temps, nous allons obtenir un nouveau critère pour les ensembles de Blaschke de V.