Nous proposons deux applications à l'arithmétique des travaux récents de James Arthur sur la classification endoscopique du spectre discret des groupes symplectiques et orthogonaux. La première consiste à ôter une hypothèse d'irréductibilité dans un résultat de Richard Taylor décrivant l'image des conjugaisons complexes par les représentations galoisiennes p-adiques associées aux représentations automorphes cuspidales algébriques régulières essentiellement autoduales pour le groupe GL_{2n+1} sur un corps totalement réel. Nous l'étendons également au cas de GL_{2n}, sous une hypothèse de parité du caractère multiplicatif. Nous utilisons un résultat de déformation p-adique. Plus précisément, nous montrons l'abondance de points correspondant à des représentations galoisiennes (quasi-)irréductibles sur les variétés de Hecke pour les groupes symplectiques et orthogonaux pairs. La classification d'Arthur est utilisée à la fois pour définir les représentations galoisiennes et pour transférer des représentations automorphes autoduales (pas nécessairement cuspidales) de groupes linéaires aux groupes symplectiques et orthogonaux. La deuxième application concerne le calcul explicite de dimensions d'espaces de formes automorphes ou modulaires. Notre contribution principale est un algorithme calculant les intégrales orbitales aux éléments de torsion des groupes classiques p-adiques non ramifiés, pour l'unité de l'algèbre de Hecke non ramifiée. Cela permet le calcul du côté géométrique de la formule des traces d'Arthur, et donc celui de la caractéristique d'Euler du spectre discret en niveau un. La classification d'Arthur permet l'analyse fine de cette caractéristique d'Euler, jusqu'à en déduire les dimensions des espaces de formes automorphes. De là il n'est pas difficile d'apporter une réponse à un problème plus classique: déterminer les dimensions des espaces de formes modulaires de Siegel à valeurs vectorielles.
| Identifer | oai:union.ndltd.org:CCSD/oai:pastel.archives-ouvertes.fr:pastel-01066463 |
| Date | 19 September 2014 |
| Creators | Taïbi, Olivier |
| Publisher | Ecole Polytechnique X |
| Source Sets | CCSD theses-EN-ligne, France |
| Language | fra |
| Detected Language | French |
| Type | PhD thesis |
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