Dans cette thèse, on démontre une conjecture de Greenberg et Benois sur les zéros triviaux des fonctions L p-adiques dans certains cas. Pour cela, on utilise la méthode de Greenberg et Stevens. Plus précisément, on démontre d'abord cette conjecture pour une forme de Hilbert de poids parallèle 2 sur un corps totalement réel où p est inerte, quand la forme est Steinberg en p et sous d'autres hypothèses sur le conducteur. Ce résultat est une généralisation de travaux non publiés de Greenberg et Tilouine. On démontre ensuite cette conjecture pour une forme modulaire elliptique de pente finie et Steinberg en p et sous des hypothèses similaires. Pour construire la fonction L p-adique en deux variables (construction nécessaire à l'utilisation de la méthode de Greenberg-Stevens), on utilise la récente théorie des formes quasisurconvergentes d'Urban. On améliore le précédent résultat en enlevant l'hypothèse de conducteur pair et en utilisant la construction de la fonction L p-adique de Böcherer et Schmidt. Dans le chapitre final, on rappelle la définition et les calculs de l'invariant ℒ de Greenberg-Benois et on explique comment certains résultats précédement énoncés peuvent être généralisés aux formes modualires de Siegel. / This thesis is devoted to the study of certain cases of a conjecture of Greenberg and Benois on derivative of p-adic L-functions using the method of Greenberg and Stevens. We first prove this conjecture in the case of the symmetric square of a parallel weight 2 Hilbert modular form over a totally real field where p is inert and whose associated automorphic representation is Steinberg in p, assuming certain hypotheses on the conductor. This is a direct generalization of (unpublished) results of Greenberg and Tilouine. Subsequently, we deal with the symmetric square of a finite slope, elliptic, modular form wich is Steinberg at p. To construct the two-variable p-adic L-function, necessary to apply the method of Greenberg and Stevens, we have to appeal to the recently developped theory of nearly overconvergent forms of Urban. We further strengthen the above result, removing the assumption that the conductor of the form is even, using the construction of the p-adic L-function by Böcherer and Schmidt. In the final chapter we recall the definition and the calculation of the algebraic ℒ-invariant à la Greenberg-Benois, and explain how some of the above-mentioned results could generalized to higher genus Siegel modular forms.

Le théorème de Mordell-Weil affirme que, pour toute variété abélienne définie sur un corps de nombres, le groupe des points K-rationnels est de type fini. Plus exactement, ce groupe peut être vu comme le produit d’un groupe libre et d’un sous-groupe fini de points de torsion définis sur K. Il est naturel de se demander si l’on peut obtenir une borne uniforme pour le cardinal du sous-groupe fini des points de torsion définis sur une extension finie de K, dépendant uniquement du degré de cette extension, lorsque la variété abélienne varie. Pour ce qui est des courbes elliptiques définies sur un corps de nombres, Merel a prouvé en 1994 que l’on peut obtenir une borne uniforme en utilisant des méthodes développées par Mazur, Kenku-Momose et Kamienny. Cependant, il est aussi naturel de se demander si l’on peut obtenir une borne de ce cardinal, qui dépend uniquement du degré de cette extension,lorsque l’extension varie et la variété abélienne est fixée. Concernant cette dernière question Hindry et Ratazzi ont énoncé plusieurs résultats concernant certaines classes de variétés abéliennes. L’objectif de cette thèse, sera de présenter des nouveaux résultats dans cette direction. On se concentrera sur la classe de variétés abéliennes de type III pleinement de type Lefschetz, c’est-à-dire, telles que leur groupe de Mumford-Tate soit le groupe des similitudes orthogonales qui commutent avec les endomorphismes et telles qu’elles vérifient la conjecture de Mumford-Tate. On démontre des nouveaux résultats concernant la conjecture de Mumford-Tate. En particulier, on fournit une liste de variétés abéliennes dont on sait prouver qu’elles sont pleinement de type Lefschetz. / Mordell-Weil’s theorem states that, for an abelian variety defined over a number field K the group of K-rational points is finitely generated. More precisely, it can be seen as a product of a free group by a finite subgroup of torsion points over K. One can wonder if we can get an uniform bound for the order of the subgroup of torsion points over a finite extension L over K, depending on the degree of this extension and the dimension of the abelian variety, when the abelian variety varies in a certain class. For elliptic curves defined over a number field K, Merel proved in 1994 that we can get a uniform bound using methods developed by Mazur, Kenku-Momose and Kamienny. A complementary question would be to ask if we can get a bound for the order of the subgroup of torsion points over a finite extension L over K, depending on the degree of this extension and the dimension of the abelian variety, when L varies over all the finite extensions of K and the abelian variety is fixed. This question had been already answered by Hindry and Ratazzi for certain classes of abelian variety.This thesis will focus on this last question and will extend the previous results. We are going to present some new results concerning the class of abelian variety of type III in Albert’s classification and “fully of Lefschetz type” (i.e. whose Mumford-Tate group is the group of symplectic or orthogonal similitudes commuting with endomorphisms and which satisfy the Mumford-Tate conjecture). We also show some new results in the direction of the Mumford-Tate conjecture. Moreover, we present a list of abelian varieties which, we know, are fully of Lefschetz type.

Cette thèse est composée de deux parties indépendantes. Dans la première, on s'intéresse à la résolution de certaines équations diophantiennes par la méthode modulaire. On traite plus particulièrement le cas des équations de Fermat de type (5,5,p) ainsi que celui des équations de la forme F(x,y)=z^p où p est un nombre premier et F une cubique rationnelle. La deuxième partie est consacrée à l'arithmétique des courbes elliptiques. Dans le cas d'une courbe définie sur une extension finie de Q_2 ayant mauvaise réduction additive avec potentiellement bonne réduction, on s'intéresse à la détermination de son défaut de semi-stabilité. On énonce un résultat partiel valable pour toute extension finie de Q_2. Dans le cas des extensions quadratiques ramifiées de Q_2, on obtient un résultat complet. Par ailleurs, si E est une courbe elliptique définie sur un corps de nombres K, on s'intéresse, dans le dernier chapitre, à l'ensemble des nombres premiers p pour lesquels l'action du groupe de Galois absolu de K sur le sous-groupe des points de p-torsion de E est réductible. Lorsque cet ensemble est fini, on obtient un critère permettant en pratique de le déterminer explicitement.

Le point de départ de cette thèse est l'étude d'une conjecture du type $R\simeq\mathbb(T)$ dans le contexte général d'un groupe réductif connexe $G$ sur $\mathbb(Q)$, admettant une variété de Shimura et non nécessairement déployé. L'hypothèse principale est la quasi-ordinarité des représentations automorphes considérées et son reflet galoisien conjectural. On obtient, sous certaines hypothèses, l'égalité des dimensions de Krull d'un anneau de déformation universelle d'une représentation galoisienne quasi-ordinaire et d'une algèbre de Hecke quasi-ordinaire localisée. La théorie des immeubles de Bruhat-Tits est utilisée pour obtenir la structure des algèbres de Hecke paraboliques en $p$. D'un théorème de contrôle général, on déduit dans certains cas que l'algèbre de Hecke quasi-ordinaire universelle est finie et sans torsion sur l'algèbre de Hida-Iwasawa du groupe $G$. Ce résultat permet de construire des familles de systèmes de valeurs propres pour les opérateurs de Hecke, quasi-ordinaires, passant par un système donné.

Les résultats présentés dans cette habilitation concernent les réseaux dans les représentations semi-stables, ainsi que les quotients de ceux-ci. Plus précisément, les plus manquants d'entre eux sont 1) une étude de certaines catégories de Breuil en torsion 2) une étude des variétés de Kisin, et plus exactement une estimation de la dimension de certaines d'entre elles 3) l'obtention de bornes (dépendant des " poids de Hodge-Tate ") sur l'action de l'inertie modérée et de l'inertie sauvage sur les représentations semi-stables de torsion 4) le développement de la théorie des (phi,tau)-modules, avec pour application une caractérisation et une classification des réseaux dans les représentations semi-stables

Hida a étudié l'image de la représentation galoisienne associée à une famille p-adique de Hida de formes automorphes. Il a montré que l'image d'une famille non CM de formes modulaires classiques ordinaires contient un sous-groupe de congruence. Il a aussi lié le niveau optimal du groupe de congruence à l'idéal de congruence entre la famille de Hida non-CM et des familles CM. Cette thèse se divise en deux parties. La première partie est à généraliser ce genre de résultats dans le cas ordinaire pour les familles de Hida sur les groupes réductifs sous les hypothèses techniques. La deuxième partie se consacre à étudier les cas concrets. On montre que les hypothèses techniques sont satisfaites. Donc le même type de résultats est établi automatiquement. / Hida has studied the image of Galois representation associated to a p-adic Hida family of automorphic forms. He has proved that the image of a non-CM family ofordinary classic modular forms contains a congruence subgroup. He also related the optimal level of congruence subgroup to the congruence ideal between the non-CM Hida family and the CM ones. This thesis is divided into two parts. In the first part,we generalize this type of results to ordinary Hida families over reductive groups under some technical hypothesis. In the second part, we consider concrete cases. We prove that the technical hypothesis are satised for these cases. Hence the same type of results is established automatically.

A une représentation de p-torsion du groupe de Galois absolu d'un corps p-adique, M. Kisin associe un espace de modules, appelé par la suite variété de Kisin par G. Pappas et M. Rapoport. Ces variétés ont été introduites afin de démontrer plusieurs résultats de modularité sur les représentations galoisiennes. Elles se sont révélées utiles également pour construire certains anneaux de déformations voire les calculer. Plus récemment elles ont été utilisées pour munir le champ des représentations galoisiennes de torsion d'une structure algébrique. Par ailleurs ces variétés ressemblent formellement aux variétés de Deligne-Lusztig affines. En particulier leur définition s'étend dans le cadre de la théorie des groupes réductifs. Dans cette thèse, nous étudions la dimension de certaines variétés de Kisin dans le cas de la restriction des scalaires à la Weil du groupe linéaire général GLd. En nous basant sur des méthodes issues du cadre Deligne-Lusztig et en suivant les travaux de E. Viehmann et X. Caruso, nous définissons une stratification de la variété de Kisin. Nous encadrons ensuite la dimension des strates, puis étudions le problème de la maximisation de la dimension sur l'ensemble des strates. Cela permet de démontrer des encadrements pour la dimension des variétés de Kisin considérées. Comme dans le cas des variétés de Deligne-Lusztig affines, la somme des racines positives intervient dans l'encadrement de la dimension. / Given a p-torsion representation of the absolute Galois group of a p-adic field, M. Kisin defines a moduli space, which was named Kisin variety afterwards by G. Pappas and M. Rapoport. These varieties were first introduced in order to prove several modularity results on Galois representations. They were also used for constructing certain Galois deformation rings and computing some of them. Besides, they were involved in a recent work aiming at defining an algebraic structure on the stack of torsion Galois representations. It turns out that these varieties are formally similar to affine Deligne-Lusztig varieties. In particular their definition extends to the framework of reductive groups. In this thesis, we study the dimension of some Kisin varieties corresponding to the scalar restriction of the general linear group GLd. Inspired by methods coming from Deligne-Lusztig theory and following works by E. Viehmann and X. Caruso, we define a stratification on the given Kisin variety. Then we bound from below and from above the dimension of the strata, and we address the problem of maximizing the dimension over all strata. This allows us to derive the announced bounds on the dimension. As for affine Deligne-Lusztig varieties, the sum of the positive roots appears in the bounds.

Nous proposons deux applications à l'arithmétique des travaux récents de James Arthur sur la classification endoscopique du spectre discret des groupes symplectiques et orthogonaux. La première consiste à ôter une hypothèse d'irréductibilité dans un résultat de Richard Taylor décrivant l'image des conjugaisons complexes par les représentations galoisiennes p-adiques associées aux représentations automorphes cuspidales algébriques régulières essentiellement autoduales pour le groupe GL_{2n+1} sur un corps totalement réel. Nous l'étendons également au cas de GL_{2n}, sous une hypothèse de parité du caractère multiplicatif. Nous utilisons un résultat de déformation p-adique. Plus précisément, nous montrons l'abondance de points correspondant à des représentations galoisiennes (quasi-)irréductibles sur les variétés de Hecke pour les groupes symplectiques et orthogonaux pairs. La classification d'Arthur est utilisée à la fois pour définir les représentations galoisiennes et pour transférer des représentations automorphes autoduales (pas nécessairement cuspidales) de groupes linéaires aux groupes symplectiques et orthogonaux. La deuxième application concerne le calcul explicite de dimensions d'espaces de formes automorphes ou modulaires. Notre contribution principale est un algorithme calculant les intégrales orbitales aux éléments de torsion des groupes classiques p-adiques non ramifiés, pour l'unité de l'algèbre de Hecke non ramifiée. Cela permet le calcul du côté géométrique de la formule des traces d'Arthur, et donc celui de la caractéristique d'Euler du spectre discret en niveau un. La classification d'Arthur permet l'analyse fine de cette caractéristique d'Euler, jusqu'à en déduire les dimensions des espaces de formes automorphes. De là il n'est pas difficile d'apporter une réponse à un problème plus classique: déterminer les dimensions des espaces de formes modulaires de Siegel à valeurs vectorielles.

Nous démontrons un résultat d'équidistribution sur les courbes modulaires: les orbites galoisiennes d'invariants modulaires a l'intérieur d'une même classe d'isogénie non~CM se répartissent le long de la mesure de Poincaré sur la courbe modulaire. Un corollaire est que la hauteur des points considérés diverge, retrouvant là un résultat de Szpiro et Ullmo. Pour obtenir cet énoncé nous combinons des propriétés galoisiennes (le théorème de Serre sur l'action du groupe de Galois sur les points de division) et des propriétés ergodiques (le théorème de Ratner sur les flots unipotents dans les espaces de réseaux, ou plutôt l'équidistribution des points de Hecke). Nous généralisons notre méthode dans le cadre des variétés de Shimura. Dans ce cadre, en~revanche, l'un de nos ingrédients repose sur une forme de la conjecture de Mumford-Tate. Cela nous amène à étudier, dans une seconde partie, des raffinements de l'équidistribution des points de Hecke. Apparaissent alors certaines questions de divergence dans les espaces de réseaux. La méthode de linéarisation de Dani-Margulis ramène cette question à un énoncé géométrique. Nous apportons une réponse à cette question. Dans le cas réel, il s'agit d'une collaboration avec Nimish Shah. Dans le cas p-adique, nous sommes amenés à utiliser la géométrie ultramétrique récemment développée par Berkovich, en relation avec la théorie de Bruhat-Tits, et plus particulièrement des résultats recents de B. Remy, A. Thuillier et A. Werner. Nous sommes amenés en particulier à démontrer - des propriétés de décomposition des immeubles inspirées des théorème de décomposition de Mostow sur les espaces symétriques; - des propriétés de convexité sur les immeubles de fonctions analytiques, au sens ultramétrique, sur le groupe associé. Nous illustrons enfin comment nos résultats, en combinaison avec les travaux de D. Kleinbock et G. Tomanov, et le théorème de Ratner, s'appliquent à l'étude de problèmes S-arithmétiques dans les espaces de réseaux.

Cette thèse est constituée de deux parties indépendantes, étudiant deux aspects de la théorie des (φ,Γ)-modules en caractéristique p. La première partie porte sur l'étude de la réduction modulo p des représentations cristallines irréductibles de dimension deux. Nous donnons, pour des poids k ≤ p², un calcul explicite de la réduction de V(k,a) pour a dans un disque fermé centré en zéro, généralisant ainsi des résultats déjà connus pour k ≤ 2p. En particulier, nous calculons le plus grand rayon possible pour ce disque, et montrons que dans certains cas, la réduction qui est constante à l'intérieur du disque change sur son bord. Dans la seconde partie, nous nous intéressons aux représentations d'un sous-groupe de Borel de GL[indice]2(Q[indice]p) sur un corps de caractéristique p, et en particulier à celles qui sont lisses, irréductibles et admettent un caractère central. Une méthode pour construire de telles représentations à partir de (φ,Γ)-modules irréductibles a été décrite par Colmez dans sa construction de la correspondance de Langlands p-adique. Après avoir donné un cadre un peu plus général dans lequel la construction de Colmez fonctionne encore, nous classifions les représentations irréductibles du Borel, prouvant que la construction précédente permet d'obtenir toutes les représentations de dimension infinie. Lorsque le corps des coefficients est fini, ou algébriquement clos, nous disposons d'une interprétation galoisienne des (φ,Γ)-modules irréductibles, et la classification précédente permet alors d'obtenir une correspondance entre ces représentations du Borel et des représentations galoisiennes modulaires.