Je définis tout d'abord les polynômes vectoriels orthogonaux relativement à une matrice r x s de mesures ou de poids et je rappelle les propriétés habituelles : la récurrence à r+s+1 termes, le théorème de Shohat-Favard ou l'égalité de Christoffel-Darboux. Ces polynômes permettent, par l'utilisation d'approximants de Padé, de caractériser l'ensemble résolvant de l'opérateur aux différences associé aux récurrences. Cette caractérisation a déjà été donnée par Duren mais la démonstration utilisée ici est novatrice. Je définis ensuite des fonctions homographiques sur l'ensemble des matrices $r\times s$. J'uniformise ainsi tous les cas connus de fractions continues: scalaire, vectoriel ou matriciel. Elles permettent aussi de démontrer un théorème d'accélération de convergence de fractions continues matricielles, généralisation d'un théorème similaire pour les fractions généralisées donné par de Bruin et Jacobsen. J'utilise alors les polynômes vectoriels pour calculer les coefficients de récurrence d'autres polynômes par l'algorithme de Chebyshev modifié vectoriel, généralisation du cas scalaire pour lequel nous démontrons des critères de stabilité. Finalement, l'algorithme de Chebyshev modifié est utilisé pour étudier l'évolution temporelle du système dynamique semi-infini de Toda-Langmuir. Dans ce système, les particules sont sur le semi-axe réel et elles interagissent suivant une loi exponentielle décroissante. L'approche utilisée pour résoudre le problème est, encore une fois, innovante. En effet, j'étudie seulement les n premières particules et je m'intéresse à l'erreur commise sur l'évolution lorsque l'on tronque le système à N>>n quantités c'est-à-dire que l'on travaille avec un système fini. Je présente l'étude théorique de l'erreur, où je réutilise nos résultats sur la stabilité de l'algorithme de Chebyshev modifié, ainsi que des exemples numériques.
| Identifer | oai:union.ndltd.org:CCSD/oai:tel.archives-ouvertes.fr:tel-00005227 |
| Date | 10 May 2002 |
| Creators | Bourreau, Emmanuel |
| Publisher | Université des Sciences et Technologie de Lille - Lille I |
| Source Sets | CCSD theses-EN-ligne, France |
| Language | French |
| Detected Language | French |
| Type | PhD thesis |
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