Cette thèse se propose d'étudier sous divers points de vue les groupes d'automorphismes d'immeubles. Un de ses objectifs est de mettre en valeur les différences autant que les analogies entre les immeubles affines et non affines. Pour appuyer cette dichotomie, on y démontre que les groupes d'automorphismes d'immeubles non affines n'ont jamais de paire de Gelfand, contrairement aux immeubles affines. Dans l'autre sens, pour souligner l'analogie entre immeubles affines et non affines, on définit une nouvelle notion de bord combinatoire d'un immeuble. Dans le cas des immeubles affines, ce bord s'identifie au bord polyédral. On relie la construction de ce bord à d'autres constructions déjà existantes, par exemple, la compactification de Busemann du graphe des chambres. La compactification combinatoire est également isomorphe à la compactification par la topologie de Chabauty de l'ensemble des chambres, sous des hypothèses de transitivité. On relie aussi le bord combinatoire à un autre espace, généralisant une construction de F. Karpelevic pour les espaces symétriques : celle du bord raffiné d'un espace CAT(0).On démontre alors que les points du bord paramètrent les sous-groupes moyennables maximaux de l'immeuble, à indice fini près. Enfin, on prouve que l'action du groupe d'automorphismes d'un immeuble localement fini sur le bord combinatoire de ce dernier est moyennable, fournissant ainsi des résolutions en cohomologie bornée et des applications bord explicites. Ceci donne aussi une nouvelle preuve que ces groupes satisfont la conjecture de Novikov.
| Identifer | oai:union.ndltd.org:CCSD/oai:tel.archives-ouvertes.fr:tel-00463411 |
| Date | 04 December 2009 |
| Creators | Lécureux, Jean |
| Publisher | Université Claude Bernard - Lyon I |
| Source Sets | CCSD theses-EN-ligne, France |
| Language | French |
| Detected Language | French |
| Type | PhD thesis |
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