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Previous issue date: 2017-07-10 / FAPEAM - Fundação de Amparo à Pesquisa do Estado do Amazonas / In this dissertation we present the idea of proof of the theorem that on a non-singular
cubic surface in P3 contains 27 straight lines. Also, they are shown as these lines intersect,
Which planes form, which are sextuples of straight lines that do not intersect (Sextuplets
of Schlaefli). An explicit example of the surface defined on Q such that all its lines are
defined on Q is treated. Finally, it is shown that there is an isomorphism between a
cubic surface and a 6-point swollen plane. This is a classic subject of nineteenth-century
research, but it has development to this day. As an introduction, the dissertation contains
the definition of the affine space, projective space, its subspaces, Grassmannian varieties
of the subspaces and especially the G(2, 4) variety of the straight lines in P3. Then the
initial construction of a straight line at P3 and P5 which cross it is treated. It is shown
that there is one and only one cubic surface containing these 6 lines. Using the theorem
that 4 straight in space have 2 secant lines, it is possible to construct all 27 straight
lines on this surface. Also, its intersection matrix is found. This gives us solutions to
various combinatorial problems related to this configuration of the lines. Projection of
the surface of two straight lines allows to show that there is an isomorphism between the
surface and a plane swollen in 6 points. In his turn, this isomorphism makes it easier to
obtain the matrix of the intersection of the lines. Finally, explicit calculations for a simple
configuration of the 6 straight lines are made. As a result, we obtain a surface such that
all its 27 straight lines have rational coordinates. / Nesta dissertação é apresentada a ideia da prova do teorema que em uma superfície
cúbica não singular em P3 contem 27 retas. Também, são mostrados como estas retas
se intersectam, quais planos formam, quais são sêxtuplos das retas que não se cruzam
(sêxtuplos de Schlaefli) etc. Um exemplo explícito da superfície definida sobre Q tal
que todas suas retas são definidas sobre Q é tratado. Finalmente, mostra-se que existe
um isomorfismo entre uma superfície cúbica e um o plano inchado em 6 pontos. Isto é
uma matéria clássica de pesquisa de século XIX, mas ela tem desenvolvimento até hoje.
Como introdução, a dissertação contém a definição do espaço afim, espaço projetivo,
seus subespaços, variedades Grassmannianas dos subespaços e especialmente a variedade
G(2, 4) das retas em P3. Em seguida, a construção inicial de uma reta em P3 e P5
retas quais cruzam a ela é tratada. Mostra-se que existe uma e somente uma superfície
cúbica que contem a estas 6 retas. Usando o teorema que 4 retas no espaço têm 2 retas
secantes, é possível construir todas as 27 retas nesta superfície. Também, é achada sua
matriz de intersecção. Isto nos dá soluções de vários problemas combinatórios relacionados
com esta configuração das retas. Projeção da superfície de duas retas reversas permite
mostrar que existe um isomorfismo entre a superfície e um o plano inchado em 6 pontos.
Por sua vez, este isomorfismo permite obter mais facilmente a matriz da interseção das
retas. Finalmente, cálculos explícitos para uma configuração simples das 6 retas são feitos.
Como um resultado, obtemos uma superfície tal que todas suas 27 retas têm coordenadas
racionais.
| Identifer | oai:union.ndltd.org:IBICT/oai:http://localhost:tede/5888 |
| Date | 10 July 2017 |
| Creators | Ferreira, João Raimundo Silva, 92-99321-7889 |
| Contributors | ppgmufam@gmail.com, Logachev, Dmitry |
| Publisher | Universidade Federal do Amazonas, Programa de Pós-graduação em Matemática, UFAM, Brasil, Instituto de Ciências Exatas |
| Source Sets | IBICT Brazilian ETDs |
| Language | Portuguese |
| Detected Language | Portuguese |
| Type | info:eu-repo/semantics/publishedVersion, info:eu-repo/semantics/masterThesis |
| Format | application/pdf |
| Source | reponame:Biblioteca Digital de Teses e Dissertações da UFAM, instname:Universidade Federal do Amazonas, instacron:UFAM |
| Rights | info:eu-repo/semantics/openAccess |
| Relation | -7807118400798055458, 600, 500, -8156311678363143599 |
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