[pt] Muitos problemas reais em modelagem computacional requerem o uso
de aproximação de funções. Em alguns casos a função a ser avaliada
no computador é muito complexa, portanto seria desejável que ela fosse
substituída por uma função mais simples e mais eficiente de ser calculada.
Para fazer isso, calcula-se o valor da função escalar f em um conjunto
de N pontos {x1, x2, . . . , XN}, onde x(i) (pertence a) R(n), e faz-se uma estimativa dos
valores dessa função f em qualquer outro ponto através de um método
de interpolação. Um método de interpolação é qualquer procedimento que
toma um conjunto de restrições e determina uma boa função que satisfaça
essas condições. O método de interpolação de Shepard originalmente calcula
o valor estimado dessa função num ponto qualquer x (pertence a) R(N) como uma média
ponderada dos valores da função original nas N amostras dadas. Sendo que
o peso para cada amostra x(i) é função das potências negativas das distâncias
euclidianas entre os pontos x e x(i). Os núcleos K: R(N) × R(N) (EM) R são funções
que correspondem ao produto interno no espaço de Hilbert F da imagem dos
pontos x e z por uma função phi (conjunto vazio) : R(N) (EM) F, ou seja K(x, z) = < phi (conjunto vazio) (x), phi (conjunto vazio) (z) >.
Na prática, as funções núcleos representam implicitamente o mapeamento
feito pela função phi (conjunto vazio) , ou seja, se define qual núcleo usar e não qual phi (conjunto vazio) usar. Esse trabalho propõe uma modificação do método de interpolação de Shepard que
é uma simples substituição no método original: ao invés de usar a distância
euclidiana entre os pontos x e xi sugere-se usar a distância entre as imagens
dos pontos x e x(I) por phi (conjunto vazio) no espaço de Hilbert F, que pode ser calculada
diretamente com o uso da função núcleo K. Os resultados mostram que essa
pequena modificação gera resultados melhores quando comparados com o
método de Shepard original. / [en] Several real problem in computational modeling require function approximations.
In some cases, the function to be evaluated in the computer is very
complex, so it would be nice if this function could be substituted by a simpler
and efficient one. To do so, the function f is sampled in a set of N
pontos {x1, x2, . . . , xN}, where x(i) (is an element of) R(n), and then an estimate for the value of f in any other point is done by an interpolation method. An interpolation
method is any procedure that takes a set of constraints and determines
a nice function that satisfies such conditions. The Shepard interpolation
method originally calculates the estimate of F(x) for some x (is an element of) R(n) as a
weighted mean of the N sampled values of f. The weight for each sample
xi is a function of the negative powers of the euclidian distances between
the point x and xi. Kernels K : R(n) ×R(n) (IN) R are functions that correspond
to an inner product on some Hilbert space F that contains the image of
the points x and z by a function phi (the empty set) : R(n) (IN) F, i.e. k(x, z) =< phi (the empty set) (x), phi (the empty set) (z) >. In practice, the kernels represent implicitly the mapping phi (the empty set), i.e. it is more suitable to defines which kernel to use instead of which function phi (the empty set). This work proposes a simple modification on the Shepard interpolation method that is: to substitute the euclidian distance between the points x and xi by a distance between the image of these two point by phi (the empty set) in the Hilbert space F, which can be computed directly with the kernel k. Several tests show that such simple modification has better results when compared to the original
method.
| Identifer | oai:union.ndltd.org:puc-rio.br/oai:MAXWELL.puc-rio.br:15709 |
| Date | 01 June 2010 |
| Creators | JOANA BECKER PAULO |
| Contributors | HELIO CORTES VIEIRA LOPES |
| Publisher | MAXWELL |
| Source Sets | PUC Rio |
| Language | Portuguese |
| Detected Language | Portuguese |
| Type | TEXTO |
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