La théorie des groupes de Coxeter, qui a pour origine l'étude des groupes<br /> d'isométries, permet de relier entre eux divers domaines d'algèbre et de<br /> géométrie, allant de la théorie des representations (des groupes de Coxeter<br /> et de Lie, des algèbres de Lie et de Hecke) et de la géométrie algébrique<br /> (variétés de Schubert) à la combinatoire (ordre de Bruhat). Les polynômes<br /> de Kazhdan-Lusztig apparaissent sous des formes assez différentes dans plusieurs<br /> de ces domaines : ces polynômes <br /> peuvent être définis comme coordonnées d'une base<br /> remarquable de l'algèbre de Hecke (ce qui donne une représentation non triviale<br /> de cette algèbre), leur valeur au point 1 intervient dans la décomposition de certains<br /> modules de Verma, et leur coefficients peuvent être interprétés comme des dimensions<br /> de certains espaces d'homologie locale. La définition originale de ces polynômes<br /> se traduit par une formule de récurrence compliquée qui conduit naturellement à<br /> s'interroger sur une éventuelle définition purement combinatoire. Ce rapport essaye<br /> de montrer quelques développements récents dans les tentatives de réponse à cette<br /> question. Notre résultat principal est le suivant : un isomorphisme entre<br /> deux intervalles initiaux préserve les polynômes de Kazhdan-Lusztig. Nous explicitons <br /> également des arguments (théoriques et calculatoires)<br /> tendant à confirmer la conjecture que cela reste vrai pour un isomorphisme entre des intervalles<br /> complètement compressibles dans des groupes de Coxeter finis.\newline<br /><br /> Mots-clés : groupe de Coxeter, polynôme de Kazhdan-Lusztig,<br /> sous-groupe de réflections, intervalle de Bruhat, couplage distingué,<br /> intervalle complètement compressible
| Identifer | oai:union.ndltd.org:CCSD/oai:tel.archives-ouvertes.fr:tel-00137528 |
| Date | 09 November 2006 |
| Creators | Delanoy, Ewan |
| Publisher | Université Claude Bernard - Lyon I |
| Source Sets | CCSD theses-EN-ligne, France |
| Language | English |
| Detected Language | French |
| Type | PhD thesis |
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