Cette thèse traite de quelques questions de dynamique différentiable. Elle se compose de deux parties relativement indépendantes, comprenant chacune deux chapitres. La première partie établit des estimées de la conjugaison à des rotations de difféomorphismes du cercle, et en obtient des applications. La seconde partie porte sur la méthode de construction par conjugaisons successives et le problème de réalisation différentiable. Le premier chapitre part d'un théorème célèbre de Herman et Yoccoz, qui affirme que si un difféomorphisme $C^\infty$ du cercle $f$ a un nombre de rotation $\alpha$ qui satisfait à une condition diophantienne, alors $f$ est $C^\infty$-conjugué à une rotation. Nous établissons des relations explicites entre les normes $C^k$ de cette conjugaison et la condition diophantienne sur $\alpha$. Pour obtenir ces estimées, nous modifions convenablement la preuve de Yoccoz. Dans le deuxième chapitre, nous utilisons certaines de ces estimées pour montrer deux résultats. Le premier porte sur le problème de quasi-réductibilité: pour un ensemble Baire-dense de nombres $\alpha$, pour tout difféomorphisme $f$ de nombre de rotation $\alpha$, il est possible d'accumuler $R_\alpha$ avec une suite $h_n f h_n^{-1}$, $h_n$ étant un difféomorphisme. Le second résultat de ce chapitre est: pour un ensemble Baire-dense de nombres $\alpha$, étant donnés deux difféomorphismes $f$ and $g$ qui commutent, tels que $f$ a $\alpha$ pour nombre de rotation, il est possible d'approcher chacun d'eux par des difféomorphismes $f_n$ et $g_n$ qui commutent, et qui sont conjugués de manière différentiable à des rotations. Le troisième chapitre traite du problème de réalisation lisse non-standard de translations du tore. Sur certaines variétés admettant une action du cercle, nous construisons des difféomorphismes préservant le volume, et métriquement isomorphes à des translations ergodiques du tore, tels qu'une coordonnée de la translation soit un nombre de Liouville arbitraire. Pour obtenir ce résultat, nous déterminons des conditions suffisantes sur des vecteurs de translation du tore qui permettent de construire explicitement la suite de conjugaisons successives dans la méthode d'Anosov-Katok, avec des estimées convenables de leur norme. %we introduce and study the problem of non-standard couples of angles. W Dans le quatrième chapitre, sur les mêmes variétés que précédemment, et pour certains angles de Liouville $\alpha$, nous montrons que l'adhérence lisse de la classe de conjugaison lisse et préservant le volume de la rotation $S_\alpha$ contient un difféomorphisme lisse et préservant le volume $T$ qui est métriquement isomorphe à une rotation irrationnelle du cercle $R_\beta$, avec $\alpha \not\eq \pm \beta$, et avec $\alpha$ et $\beta$ choisis rationnellement dépendants ou rationnellement indépendants. En particulier, l'anneau fermé $[0,1] \times \varmathbb{T}^1$ admet une pseudo-rotation lisse ergodique $T$ d'angle $\alpha$ qui est métriquement isomorphe à une rotation $R_\beta$.
| Identifer | oai:union.ndltd.org:CCSD/oai:tel.archives-ouvertes.fr:tel-00741531 |
| Date | 17 September 2012 |
| Creators | Benhenda, Mostapha |
| Publisher | Université Paris-Nord - Paris XIII |
| Source Sets | CCSD theses-EN-ligne, France |
| Language | English |
| Detected Language | French |
| Type | PhD thesis |
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