Cette thèse traite de quelques questions de dynamique différentiable. Elle se compose de deux parties relativement indépendantes, comprenant chacune deux chapitres. La première partie établit des estimées de la conjugaison à des rotations de difféomorphismes du cercle, et en obtient des applications. La seconde partie porte sur la méthode de construction par conjugaisons successives et le problème de réalisation différentiable. Le premier chapitre part d'un théorème célèbre de Herman et Yoccoz, qui affirme que si un difféomorphisme $C^\infty$ du cercle $f$ a un nombre de rotation $\alpha$ qui satisfait à une condition diophantienne, alors $f$ est $C^\infty$-conjugué à une rotation. Nous établissons des relations explicites entre les normes $C^k$ de cette conjugaison et la condition diophantienne sur $\alpha$. Pour obtenir ces estimées, nous modifions convenablement la preuve de Yoccoz. Dans le deuxième chapitre, nous utilisons certaines de ces estimées pour montrer deux résultats. Le premier porte sur le problème de quasi-réductibilité: pour un ensemble Baire-dense de nombres $\alpha$, pour tout difféomorphisme $f$ de nombre de rotation $\alpha$, il est possible d'accumuler $R_\alpha$ avec une suite $h_n f h_n^{-1}$, $h_n$ étant un difféomorphisme. Le second résultat de ce chapitre est: pour un ensemble Baire-dense de nombres $\alpha$, étant donnés deux difféomorphismes $f$ and $g$ qui commutent, tels que $f$ a $\alpha$ pour nombre de rotation, il est possible d'approcher chacun d'eux par des difféomorphismes $f_n$ et $g_n$ qui commutent, et qui sont conjugués de manière différentiable à des rotations. Le troisième chapitre traite du problème de réalisation lisse non-standard de translations du tore. Sur certaines variétés admettant une action du cercle, nous construisons des difféomorphismes préservant le volume, et métriquement isomorphes à des translations ergodiques du tore, tels qu'une coordonnée de la translation soit un nombre de Liouville arbitraire. Pour obtenir ce résultat, nous déterminons des conditions suffisantes sur des vecteurs de translation du tore qui permettent de construire explicitement la suite de conjugaisons successives dans la méthode d'Anosov-Katok, avec des estimées convenables de leur norme. %we introduce and study the problem of non-standard couples of angles. W Dans le quatrième chapitre, sur les mêmes variétés que précédemment, et pour certains angles de Liouville $\alpha$, nous montrons que l'adhérence lisse de la classe de conjugaison lisse et préservant le volume de la rotation $S_\alpha$ contient un difféomorphisme lisse et préservant le volume $T$ qui est métriquement isomorphe à une rotation irrationnelle du cercle $R_\beta$, avec $\alpha \not\eq \pm \beta$, et avec $\alpha$ et $\beta$ choisis rationnellement dépendants ou rationnellement indépendants. En particulier, l'anneau fermé $[0,1] \times \varmathbb{T}^1$ admet une pseudo-rotation lisse ergodique $T$ d'angle $\alpha$ qui est métriquement isomorphe à une rotation $R_\beta$.

Cette thèse s'appuie sur deux branches des systèmes dynamiques : la théorie du nombre de rotation des endomorphismes du cercle de degré un et des applications de l'anneau déviant la verticale, ainsi que la théorie des systèmes non-uniformément hyperboliques. Nous nous intéressons tout d'abord à une classe d'applications bimodales du cercle, dilatantes et affines par morceaux. Chaque application de cette famille possède un nombre de rotation presque sûr : c'est le nombre de rotation de presque tout point du cercle. Nous étudions sa régularité et montrons que le nombre de rotation presque sûr est irrationnel pour un ensemble de paramètres de mesure totale. Nous considérons ensuite les applications de l'anneau qui dévient la verticale et plus particulièrement les applications bimodales de la famille d'Arnol'd épaissie. Un rôle essentiel est joué par les orbites de torsion nulle. Elles permettent de montrer que l'ensemble des applications qui possèdent un nombre de rotation fixé, forme dans l'espace des paramètres une langue d'Arnol'd bordée par deux surfaces. La frontière des langues rationnelles est associée à des bifurcations selle-noeud et homoclines. Nous obtenons enfin des estimations sur la taille de l'ensemble de rotation et de l'attracteur de Birkhoff. L'appendice est consacré aux bifurcations selles-noeud d'ensembles hyperboliques localement maximaux dont la direction instable est de dimension un. Cette bifurcation préserve la décomposition géométrique de l'espace tangent en espaces stables et instables. En revanche, l'expansion dans la direction instable dégénère près d'une orbite périodique. Nous obtenons alors une bifurcation de codimension un.

Les travaux de ma thèse s'articulent en trois parties distinctes.Dans la première partie j'étudie les mesures de Malliavin-Shavguldize sur les difféomorphismes du cercle et de l'intervalle. Il s'agit de mesures de type " Haar " pour ces groupes de dimension infinie : elles furent introduites il a une vingtaine d'années pour permettre une étude de leur théorie des représentations. Un premier chapitre est dédié à recueillir les résultats présents dans la littérature et et les représenter dans une forme plus étendue, avec un regard particulier sur les propriétés de quasi-invariance de ces mesures. Ensuite j'étudie de problèmes de nature plus dynamique : quelle est la dynamique qu'on doit s'attendre d'un difféomorphisme choisi uniformément par rapport à une mesure de Malliavin-Shavguldize ? Je démontre en particulier qu'il y a une forte présence des difféomorphismes de type Morse-Smale.La partie suivante vient de mon premier travail publié, obtenu en collaboration avec Andrés Navas. Inspirés d'un théorème récent de Avila et Kocsard sur l'unicité des distributions invariantes par un difféomorphisme lisse minimal du cercle, nous analysons le même problème en régularité faible, avec des argument plus géométriques.La dernière partie est constituée des résultats récemment obtenus avec Mikhail Khristoforov et Victor Kleptsyn. Nous abordons les problèmes reliés à la gravité quantique de Liouville en étudiant des espaces auto-similaires qui sont la limite de graphes finis. Nous démontrons qu'il est possible de trouver des distances aléatoires non-triviales sur ces espaces qui sont compatibles avec la structure auto-similaire.

On s’intéresse dans cette thèse à des systèmes couplés de type champ moyen en étudiant l’existence de l’état de synchronisation qui se caractérise par une distance uniformément bornée dans le temps entre chaque paire de composantes d’une solution. L’étude se base sur une méthode perturbative. Néanmoins les résultats obtenus ne sont pas évidents dans le cas non-perturbé. En outre dans le cas où le système couplé est périodique et grâce au Théorème du point fixe on montre l’existence d’une solution périodique sur le tore. L’étude de stabilité et de stabilité exponentielle est établie dans le cas linéaire et appliquée à ce type de systèmes couplés / We study in this thesis a class of a perturbed interconnected mean-field system, also known as a coupled systems. Under some assumptions we prove the existence of an invariant open set by the flow of the perturbed system ; in other word, we prove that the distance between the components of an orbit is uniformly bounded, this property is also called synchronization. We use the perturbation method to obtain the result. However the result is not trivial for the not perturbed system. We use the fixed point theorem to prove the existence of a periodic orbit in the torus. We study in addition the stability and the exponential stability of such systems by studying the stability of a linear systems.

Les travaux de ma thèse s'articulent en trois parties distinctes.Dans la première partie j'étudie les mesures de Malliavin-Shavguldize sur les difféomorphismes du cercle et de l'intervalle. Il s'agit de mesures de type « Haar » pour ces groupes de dimension infinie : elles furent introduites il a une vingtaine d'années pour permettre une étude de leur théorie des représentations. Un premier chapitre est dédié à recueillir les résultats présents dans la littérature et et les représenter dans une forme plus étendue, avec un regard particulier sur les propriétés de quasi-invariance de ces mesures. Ensuite j'étudie de problèmes de nature plus dynamique : quelle est la dynamique qu'on doit s'attendre d'un difféomorphisme choisi uniformément par rapport à une mesure de Malliavin-Shavguldize ? Je démontre en particulier qu'il y a une forte présence des difféomorphismes de type Morse-Smale.La partie suivante vient de mon premier travail publié, obtenu en collaboration avec Andrés Navas. Inspirés d'un théorème récent de Avila et Kocsard sur l'unicité des distributions invariantes par un difféomorphisme lisse minimal du cercle, nous analysons le même problème en régularité faible, avec des argument plus géométriques.La dernière partie est constituée des résultats récemment obtenus avec Mikhail Khristoforov et Victor Kleptsyn. Nous abordons les problèmes reliés à la gravité quantique de Liouville en étudiant des espaces auto-similaires qui sont la limite de graphes finis. Nous démontrons qu'il est possible de trouver des distances aléatoires non-triviales sur ces espaces qui sont compatibles avec la structure auto-similaire. / This thesis is divided into three different parts.In the first part, we study the Malliavin-Shavgulidze measure on circle and interval diffeomorphisms. They are Haar-like measures for these infinite-dimensional groups: they were introduced about twenty years ago to help to study their represantation theory. The first chapter collects the results that were obtained in the past years and in some cases we present them under a renewed point of view, with particular attention on quasi-invariance properties for this measures. Then we study some questions of dynamical nature: which is the typical dynamics that we must expect described by a diffeomorphism chosen randomly according to some Malliavin-Shavguldize measure? In particular, we prove that there is a strong presence of Morse-Smale diffeomorphisms.The third chapter comes from the published joint work with Andrés Navas. Inspired by a recent theorem by Avila and Kocsard about the uniqueness of the invariant distribution for a minimal smooth circle diffeomorphism, we analyse the same problem in low regularity, with more geometric arguments.The last part corresponds to the recent results obtained with Mikhail Khristoforov and Victor Kleptsyn. We consider problems in relation with Liouville quantum gravity, by studying self-similar metric spaces which are the limit of finite graphs. We prove that it is possible to find nontrivial random distances on these spaces which are compatible with the self-similar structure.