Nous nous intéressons dans cette thèse à l'estimation, dans un cadre non paramétrique, d'une fonction de régression présentant des discontinuités et, plus précisément aux pro\-blè\-mes de détection de ruptures, d'estimation des paramètres de rupture (nombre, localisations, amplitudes) et de segmentation de la fonction de régression (reconstitution de la fonction). La méthode utilisée est basée sur les propriétés du processsus de saut estimé, $\hat(\gamma)(t)$, défini en tout $t$ comme la différence entre un estimateur à droite et un estimateur à gauche, ces estimateurs étant obtenus régression linéaire locale.\par Dans un premier temps, nous considérons la situation d'une seule discontinuité et étudions les propriétés de l'estimateur de l'amplitude de la discontinuité lorsque la localisation est connue. Nous donnons l'expression de l'erreur quadratique moyenne asymptotique et montrons la convergence et la normalité asymptotique de l'estimateur. Lorsque la localisation $\tau$ n'est pas connue, nous construisons un estimateur de $\tau$ à l'aide du processus de déviation locale associé à $\hat(\gamma)(t)$ et montrons que cet estimateur converge avec une vitesse en $n^(-1)$ ou arbitrairement proche de $n^(-1)$ selon le noyau utilisé. Nous proposons ensuite trois tests d'existence d'une rupture : un test strictement local, un test local et un test global, tous trois définis en terme d'une statistique construite à l'aide du processus de saut estimé. Concernant le problème d'estimation du nombre de ruptures nous élaborons une procédure permettant à la fois d'estimer le nombre $p$ de ruptures et les localisations $\tau_1,\dots,\tau_p$. Nous montrons la convergence presque sûre de ces estimateurs et donnons aussi des résultats sur les vitesses de convergence. Enfin nous proposons une méthode de reconstitution d'une fonction de régression présentant des discontinuités basée sur la segmentation des observations. Nous montrons qu'en utilisant la procédure d'estimation du nombre de ruptures et des localisations développée auparavant, nous obtenons un estimateur de la fonction de régression qui a la même vitesse de convergence qu'en l'absence de ruptures. Des expérimentations numériques sont fournies pour chacun des problèmes étudiés de manière à mettre en évidence les propriétés des procédures étudiées et leur sensibilité aux divers paramètres.
| Identifer | oai:union.ndltd.org:CCSD/oai:tel.archives-ouvertes.fr:tel-00004840 |
| Date | 20 January 1999 |
| Creators | Hamrouni, Zouhir |
| Source Sets | CCSD theses-EN-ligne, France |
| Language | French |
| Detected Language | French |
| Type | PhD thesis |
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