Le sujet de ma thèse est la théorie de la pénalisation, développée originalement par B .Roynette, P. Vallois et M. Yor dans le cas du mouvement brownien. En quelques mots, cela consiste à favoriser des trajectoires de mesure nulle en mettant un poids sur la mesure de probabilité.<br />La première partie de ma thèse est la contrepartie discrète de leur travail:<br />Soit $\left(\Omega,\,\left(X_n,\,\mathcal F_n,\,n\geq0\right),\mathcal F_\infty=\bigvee_{n\geq0}\mathcal F_n,\,\p\right)$ la marche aléatoire symétrique où $\mathcal F_n$ est la filtration canonique.<br />Pour des fonctionnelles positives et adaptées $G:\mathbb N\times\Omega\time\Omega\rightarrow\mathbb R^+$, j'étudie $\forall n\in\mathbb N,\,\forall\Lambda_n\in\mathcal F_n$, la limite quand $p\rightarrow\infty$ de la quantité:<br />\begin{equation*}<br />\frac{\e_x[\mathds{1}_{\Lambda_n}G_p]}{\e_x[G_p]}<br />\end{equation*}<br />Quand cette limite existe, elle est égale à $Q\left(\Lambda_n\right):=\e_x[\mathds{1}_{\Lambda_n}M_n]$ où $\left(M_n,n\geq0\right)$ est une martingale positive non uniformément intégrable. La définition de $Q$ induit une nouvelle probabilité sur $\left(\Omega,\,\mathcal F_\infty\right)$ et on étudie alors $\left(X_n,n\geq0\right)$ sous $Q$.<br />Dans une seconde partie, j'essaye d'étendre cette théorie à un processus de naissance et de mort. Rappelons que ces processus ont la propriété de ne changer d'état que vers les états les plus proches et cela après un temps aléatoire exponentiel.<br />Plus précisément, je pénalise un processus de naissance et de mort transient par le nombre de visites dans l'état 0 (ce qui est comme une pénalisation par le temps local). Quand je force ce processus à visiter une infinité de fois l'état 0, je prouve que, sous la nouvelle mesure de probabilité induite par pénalisation, le processus se comporte comme un processus de naissance et de mort récurrente.}
| Identifer | oai:union.ndltd.org:CCSD/oai:tel.archives-ouvertes.fr:tel-00267086 |
| Date | 09 November 2007 |
| Creators | Debs, Pierre |
| Publisher | Université Henri Poincaré - Nancy I |
| Source Sets | CCSD theses-EN-ligne, France |
| Language | French |
| Detected Language | French |
| Type | PhD thesis |
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