In den letzten fünfzig Jahren haben eine Vielzahl von Mathematikern, allen voran Brezis, Pazy und Crandall, eine Theorie der nichtlinearen Halbgruppen entwickelt. Die Ergebnisse dieser Theorie ähneln denen des linearen Gegenstücks stark. Insbesondere zeigten sie, dass jedes konvexe und unterhalbstetige Funktional auf einem Hilbertraum eine Kontraktionshalbgruppe erzeugt. Dies ist eine Verallgemeinerung des Satzes von Lumer-Phillips, aus dem sich folgern lässt, dass jede abgeschlossene Bilinearform eine Halbgruppe erzeugt.
Eine solche Bilinearform heißt Dirichletform genau dann, wenn die erzeugte lineare Halbgruppe submarkovsch ist. Da solche Halbgruppen nicht nur eine wichtige Rolle in der Theorie parabolischer Differentialgleichungen spielen, sondern auch in der Analyse von Markovprozessen auftauchen, bildet die Theorie der bilinearen Dirichletformen eine fruchtbare Überschneidung aus Funktionalanalysis, Stochastik und der Theorie partieller Differentialgleichungen.
In einem Artikel aus dem Jahr 2003 definieren F. Cipriani und G. Grillo nichtlineare Dirichletformen analog als genau die konvexen und unterhalbstetigen Funktionale, die nichtlineare submarkovsche Halbgruppen generieren. Sie zeigen auch, dass, ähnlich wie im bilinearen Fall, diese Definition durch Ungleichungen für das Funktional charakterisiert werden kann, ohne die Halbgruppe explizit zu untersuchen.
Diese Dissertation baut auf dieser Publikation auf. Das Ziel ist, Konzepte und Resultate der bekannten linearen Theorie in diesem neuen Kontext wiederzugewinnen. Zum Beispiel definieren wir im ersten Teil einen Energieraum für eine große Klasse von Funktionalen. Im Falle einer Dirichletform nennen wir diesen Banachraum den Dirichletraum der Form. Der Dirichletraum ist, wie im bilinearen Fall, ein Verband unter der punktweisen Ordnung und die Verbandsoperationen sind in vielen Beispielen stetig. Danach führen wir eine Kapazität ein und nutzen diese, um quasistetige Funktionen zu definieren. All diese Konzepte ähneln ihrem bilinearen Gegenstück stark und erfüllen vergleichbare Eigenschaften. In den folgenden Kapiteln nutzen wir diese Potentialtheorie um eine Reihe von Resultaten, hauptsächlich über die Regularität bestimmter Störungen, zu beweisen. Diese Störungen sind oft mit Randwertproblemen assoziiert. Wichtige Beispiele für nichtlineare Dirichletformen sind die Energien der p-Laplaceoperatoren und deren fraktionellen Versionen auf Gebieten des Euklidischer Raums oder allgemeinen riemannschen Mannigfaltigkeiten.
| Identifer | oai:union.ndltd.org:DRESDEN/oai:qucosa:de:qucosa:75891 |
| Date | 07 September 2021 |
| Creators | Claus, Burkhard |
| Contributors | Chill, Ralph, Warma, Mahamadi, Technische Universität Dresden |
| Source Sets | Hochschulschriftenserver (HSSS) der SLUB Dresden |
| Language | English |
| Detected Language | German |
| Type | info:eu-repo/semantics/publishedVersion, doc-type:doctoralThesis, info:eu-repo/semantics/doctoralThesis, doc-type:Text |
| Rights | info:eu-repo/semantics/openAccess |
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