[pt] O objetivo principal deste trabalho é resolver o problema isoperimétrico
no plano de Minkowski, isto é, determinar dentre todas as curvas convexas,
fechadas, simples e suaves de perímetro fixo de um plano munido com uma
norma qualquer, qual é aquela que delimita a maior área. Mostraremos que
a solução para este problema não é necessariamente o círculo como no caso
euclideano e sim uma curva conhecida como isoperimetrix. Para isto, vamos
demonstrar a desigualdade de Minkowski a partir do conceito de área mista.
Em seguida, vamos determinar se há outros casos (além do caso euclideano)
em que o círculo coincide com o isoperimetrix. Também iremos mostrar que o
perímetro da bola nestes planos pode assumir qualquer valor real entre seis e
oito, sendo seis quando a bola for um hexágono regular afim e oito quando for
um paralelogramo. / [en] The main objective of this work is to solve the isoperimetric problem in
the Minkowski plane, i. e., determine among all smooth simple closed convex
curves of a normed plane with fixed perimeter, what is that which defines the
largest area. We will show that the solution to this problem is not necessarily
the circle as in the Euclidean case, but a curve known as isoperimetrix. For
this, we will demonstrate the Minkowski inequality from the concept of mixed
area. Then, we determine if there are other cases (apart from the Euclidean
case) in which the circle coincides with the isoperimetrix. We will also show
that the ball perimeter in a normed plane can take any real value between six
and eight. It is six when the ball is an affine regular hexagon and eight when
it is a parallelogram.
| Identifer | oai:union.ndltd.org:puc-rio.br/oai:MAXWELL.puc-rio.br:25618 |
| Date | 13 January 2016 |
| Creators | MARCELO CHAVES SILVA |
| Contributors | MARCOS CRAIZER |
| Publisher | MAXWELL |
| Source Sets | PUC Rio |
| Language | Portuguese |
| Detected Language | English |
| Type | TEXTO |
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