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[pt] O objetivo principal deste trabalho é resolver o problema isoperimétrico no plano de Minkowski, isto é, determinar dentre todas as curvas convexas, fechadas, simples e suaves de perímetro fixo de um plano munido com uma norma qualquer, qual é aquela que delimita a maior área. Mostraremos que a solução para este problema não é necessariamente o círculo como no caso euclideano e sim uma curva conhecida como isoperimetrix. Para isto, vamos demonstrar a desigualdade de Minkowski a partir do conceito de área mista. Em seguida, vamos determinar se há outros casos (além do caso euclideano) em que o círculo coincide com o isoperimetrix. Também iremos mostrar que o perímetro da bola nestes planos pode assumir qualquer valor real entre seis e oito, sendo seis quando a bola for um hexágono regular afim e oito quando for um paralelogramo. / [en] The main objective of this work is to solve the isoperimetric problem in the Minkowski plane, i. e., determine among all smooth simple closed convex curves of a normed plane with fixed perimeter, what is that which defines the largest area. We will show that the solution to this problem is not necessarily the circle as in the Euclidean case, but a curve known as isoperimetrix. For this, we will demonstrate the Minkowski inequality from the concept of mixed area. Then, we determine if there are other cases (apart from the Euclidean case) in which the circle coincides with the isoperimetrix. We will also show that the ball perimeter in a normed plane can take any real value between six and eight. It is six when the ball is an affine regular hexagon and eight when it is a parallelogram.

El objetivo fundamental de este trabajo ha sido el estudio del sistema fundamental de paralelos de un cuerpo convexo (conjunto compacto y convexo) en el espacio euclídeo n-dimensional. Se ha llevado a cabo siguiendo tres líneas diferentes: el estudio del polinomio de Steiner y el polinomio alternado Steiner desde el punto de vista algebraico de sus raíces y la conjetura de Matheron; el estudio de la diferenciabilidad de las quermassintegrales asociadas al cuerpo con respecto al parámetro de definición del sistema completo de paralelos y, por último, el estudio de las quermassintegrales del cuerpo desde el punto de vista analítico proporcionado por la identificación del cuerpo convexo con su función soporte, las propiedades de ésta cuando el cuerpo es suficientemente suave y la desigualdad de Brunn-Minkowski. / The aim of this work consists on studying the full system of parallel bodies of a convex body (compact and convex set) in the n-dimensional Euclidean space. It has been carried out following three different lines of work: the study of the Steiner polynomial and the alternating Steiner polynomial from the algebraic point of view of its roots; the study of the differentiability of the quermassintegrals associated to the convex body with respect to the parameter that defines the full system of parallel bodies and finally, the study of the quermassintegrals from the analytical point of view provided by the identification of a convex body with its support function, the properties of this function when the body is smooth enough and the Brunn-Minkowski inequality