On étudie dans cette thèse certains aspects de la régularité de l'ensemble singulier d'un minimiseur pour la fonctionnelle de Mumford-Shah. On se place principalement en dimension 3 même si certains résultats fonctionnent encore en dimension supérieure. Dans une première partie on étudie les minimiseurs globaux dans R^N et on montre que si (u;K) est un minimiseur global et que si K est un cône assez régulier, alors u (modulo les constantes) est une fonction homogène de degré 1/2 dans R^N\K. Ceci nous permet de lier l'existence d'un minimiseur global et le spectre du laplacien sphérique dans la sphère unité privée de K. Une conséquence est qu'un secteur angulaire stricte ne peut pas être l'ensemble singulier d'un minimiseur global de Mumford-Shah dans R^3. Dans la deuxième partie on montre un théorème de régularité au voisinage des cônes minimaux P, Y et T. On montre que si K est proche (en distance) d'un Y ou d'un T dans une certaine boule, alors K est l'image C^1,alpha d'un P, Y ou d'un T dans une boule légèrement plus petite, ce qui généralise un théorème de L. Ambrosio, N. Fusco et D. Pallara [AFP07]. Les techniques employées ne sont pas exclusives à la dimension 3 et devraient permettre de démontrer des résultats analogues en toute dimension pour un minimiseur de Mumford-Shah, dès lors qu'un résultat de régularité sur les ensembles presque minimaux existerait.
| Identifer | oai:union.ndltd.org:CCSD/oai:tel.archives-ouvertes.fr:tel-00288822 |
| Date | 02 June 2008 |
| Creators | Lemenant, Antoine |
| Publisher | Université Paris Sud - Paris XI |
| Source Sets | CCSD theses-EN-ligne, France |
| Language | French |
| Detected Language | French |
| Type | PhD thesis |
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