Dans un anneau de polynômes à $n$ indéterminées $A\n=A[y_1\tr y_n]$ à coefficients dans un anneau commutatif unitaire $A$ on dit qu'un polynôme $p=p(y_1\tr y_n)$ est une variable ou $A$-variable s'il existe un ($A$-)automorphisme $\alpha$ de $A\n$ tel que $p=\alpha(y_1)$. Dans cette thèse, on donne une construction assez générale de variables de $A\n$ par conjugaison d'automorphismes de $A\n$ avec des automorphismes de $(\Quot A)\n$. On définit les variables résiduelles qui désigne des polynômes qui sont des variables modulo $\Max$ pour tout idéal ma\-xi\-mal $\Max$ de $A$, en particulier, lorsque $A=\C\x=\C[x_1\tr x_k]$, on parle de variables $\xb$-résiduelles. Bien entendu les variables sont des variables résiduelles mais la réciproque est-elle vraie? On montre, grâce à un résultat de Daigle et Freudenburg, que les variables $\xb$-résiduelles de $\C\x[y,z]$ sont bien des $\xb$-variables. Les variables interviennent également dans les problèmes d'hyperplans plongés d'Abhyankar-Sathaye; un polynôme $p$ de $A\n$ est un ($A$-)hyperplan si le quotient de $A\n$ par l'idéal principal engendré par $p$, $(p)$ est isomorphe à $A^{[n-1]}$. Les variables sont des hyperplans et on étudie là encore la réciproque. Dans l'article co-écrit avec M.M. Kaliman et Zaidenberg qui fait partie de cette thèse on étudie les hyperplans de $\C[x,y,z,u]$ de la forme $p=f(x,y)u+g(x,y,z)$. À un changement des variables $x$ et $y$ près on montre que ces hyperplans sont aussi des variables $x$-résiduelles et partant de là on montre que ce sont des $x-$plans (i.e. $A$-plans où $A=\C[x]$) de $\Cx[y,z,u]$ et même qu'il existe un automorphisme $\alpha$ de $A[y,z,u,v]$ tel que $\alpha((p,v))=(y,v)$. Dans certains cas, par exemple lorsque $g$ est de degré un en $z$, on parvient à prouver que ce sont des $x$-variables. On donne aussi une généralisation d'un théorème de Wright en montrant qu'un $x$-plan de la forme $f(x,y,z)u^n+g(x,y,z)$ où $n\geq 2$ est une $x$-variable. Cependant le problème reste irrésolu concernant, par exemple, le polynôme $y+x[xz+y(yu+z^2)]$ qui, bien qu'étant un $x$-plan et une variable $x$-résiduelle ne semble pas être une $x$-variable.
| Identifer | oai:union.ndltd.org:CCSD/oai:tel.archives-ouvertes.fr:tel-00001846 |
| Date | 26 November 2001 |
| Creators | Vénéreau, Stéphane |
| Source Sets | CCSD theses-EN-ligne, France |
| Language | French |
| Detected Language | French |
| Type | PhD thesis |
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