[pt] Nesta tese, é apresentado e analisado em termos da
propriedade de convergência global um novo algoritmo
para
problemas de otimização quadrática sujeitos ou a
restrições de desigualdades matriciais bilineares (BMIs)
ou a restrições de desigualdades matriciais lineares
(LMIs) dependentes da freqüência, estes problemas são
muito relevantes para a teoria de controle porque uma
ampla classe de controladores (por exemplo,
controladores
H2/Hinf de ordem fixa, síntese de controladores
descentralizados, análise do desempenho robusto H2 ou
Hinf, etc.) pode ser computada a partir da solução de
problemas de otimização desta natureza. Infelizmente,
estes problemas são reconhecidamente de difícil solução,
pois envolvem, entre outras coisas, não convexidade
(restrição BMI), não diferenciabilidade da restrição,
etc.
em função dessa complexibilidade, algumas alternativas
para a obtenção de soluções aproximadas têm sido adotada
na literatura especializada recente (Safonov, 1994;
Paganini, 1996).
O algoritmo proposto neste trabalho de tese é uma
alternativa para as abordagens atuais com vantagens no
sentido de permitir a obtenção de melhores aproximações
assim como a possibilidade de explorar a estrutura
particular de cada problema de interesse e, com isso,
viabilizar do ponto de vista computacional o projeto de
controladores envolvendo plantas de ordem mais elevada.
Este algoritmo pode ser visto como a generalização de um
algoritmo anterior com boas propriedades proposto por
Corrêa & Sales (1998) para problemas quadráticos
sujeitos
a restrições envolvendo LMIs canônicas. De forma
bastante
genética, a solução do problema original (um problema
envolvendo um número infinito de restrições é
substituído
por uma única) onde, em cada passo do algoritmo, a
restrição é interativamente modificada.
Demonstrar-se-á que para problemas quadráticos
envolvendo
restrições BMIs (problemas não convexos) a seqüência de
soluções geradas pelo algoritmo convergirá para a
solução
ótima global do problema original. Por outro lado, no
caso
dos problemas quadráticos envolvendo restrições LMIs
dependentes da freqüência, a seqüência gerada de custos
auxiliares é monótona crescente e, adicionalmente, se a
seqüência de matrizes de ponderação for limitada
superiormente (uma condição suficiente), demonstrar-se-á
que a seqüência de soluções geradas pelo algoritmo
convergirá para a solução ótima global do problema
original. Finalmente, são apresentadas algumas
aplicações
a problemas de controle acompanhadas de alguns exemplos
numéricos ilustrativos. / [en] In this thesis, it is proposed and analysed in terms of
the global-convergence property a new algorithm for
solving quadratic optimisation problems under either a BMI
(bilinear matrix inequality) or a frequency-dependent LMI
(linear matrix inequality) constraints. These problems are
of special interest in the control literature a some very
important control problems such as the H2/H(infinite)
fixed-order controller, multiobjectives, H2 and H
(infinite) robust performance analysis among others
problems can be posed as problems of this kind for which
does not still exist yet a reliable global convergent
algorithm. Nowadays, approximate solutions to those
problems are based upon grid and interpolation techniques
as suggested by Paganini (1996) in the case of frequency-
wise LMI constraints or branch and bound algorithms or
branch and bound algorithms mainly and alternating LMIs as
far as BMIs constraints are involved (Safonov, 1994). All
of those approaches suffer, of course, from obvious
numerical difficulties. In fact, those approaches were
introduced as preliminary attempts in solving the problems
just mentioned.
The algorithm to presented here, which can be seen as a
generalisation of an earlier algorithm proposed by Corrêa
e Sales (1998) for solving standard feasibility LMIs
problems, is a step forward in an attempt of handling
difficulties not faced properly by those methodologies. In
a broaden sense, the proposed algorithm solves the
original problem (a problem subject to an infinite number
of constraints is replaced by a single one properly
chosen. It is worth noting that this basic idea was
introduced by Lawson (1961) in a rather different context,
namely, the problem of computing Tchebycheff
approximations by means of sequences of weighted quadratic
problems.
It is pointed out here that in the case of quadratic
problems under a BMI constraint (a nonconvex problem); it
is proved that the sequence of auxiliary solutions
generated by the algorithm converges to the global optimal
solution of the original one. On the other hand, as for
quadratic problems under a frequency-dependent LMI
constraint (an infinite-dimensional problem) it is proved
that the auxiliary cost-sequence values increases
asymptotically and, If the weight updating sequence is
bounded from above (a sufficient condition), the sequence
of auxiliary solutions will converge to the optimal
solution of the original problem as well.
Finally, some applications to control problem are
presented accompanied by some numerical examples.
| Identifer | oai:union.ndltd.org:puc-rio.br/oai:MAXWELL.puc-rio.br:8385 |
| Date | 29 May 2006 |
| Creators | DECILIO DE MEDEIROS SALES |
| Contributors | MARCOS AZEVEDO DA SILVEIRA |
| Publisher | MAXWELL |
| Source Sets | PUC Rio |
| Language | Portuguese |
| Detected Language | Portuguese |
| Type | TEXTO |
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