La marche de Sinai est un modèle élémentaire de marches aléatoires en milieu aléatoire unidimensionnelle effectuant des sauts unités sur ses plus proches voisins. On impose trois conditions sur le milieu aléatoire : deux hypothèses nécessaires pour obtenir un processus récurrent non réduit à un marche aléatoire simple et une hypothèse de régularité qui nous permet un bon contrôle des fluctuations du milieu aléatoire. Le comportement asymptotique de ce processus a été découvert par Y. Sinai en 1982 : il montre qu'il est sous diffusif et que pour instant n donné il est localisé dans le voisinage d'un point déterminé du réseau. Ce point est une variable aléatoire dépendant uniquement du milieu aléatoire et de n dont la distribution limite a été déterminée par H. Kesten et A. O. Golosov (indépendamment) en 1986. Une partie de cette thèse (partie II) a eu pour but de donner une preuve alternative au résultat de Y. Sinai . L'étude détaillée des résultats sur la localisation nous a permis de découvrir un nouvel aspect du comportement de la marche de Sinai que nous avons appelé concentration (partie III de la thèse). Nous avons montré que celle-ci était concentrée dans un voisinage restreint du point de localisation, c'est-à-dire que pour un intervalle de temps de longueur n la marche de Sinai passe la quasi-totalité de ce temps n dans un voisinage du point de localisation dont la taille est négligeable devant la distance parcourue. Nous avons également montré que le temps local de la marche de Sinai au point de localisation normalisé par n converge en probabilité vers une variable aléatoire dépendant uniquement du milieu et de n. Cette variable aléatoire est l'inverse de la moyenne du temps local dans la vallée où la marche de Sinai reste prisonnière, en un temps de retour au point de localisation. Les résultats que nous avons obtenus sont de type « trempé », c'est-à-dire que l'on travaille avec un milieu aléatoire appartenant à un sous-espace de probabilité du milieu aléatoire et on montre que ce sous-espace à une probabilité qui tend vers 1. De ces résultats est apparu des conséquences naturelles sur le maximum des temps locaux et le lieu favori de la marche de Sinai, notamment nous avons montré que la marche de Sinai et les lieux favoris de cette marche, correctement normalisés, ont même distribution limite.
| Identifer | oai:union.ndltd.org:CCSD/oai:tel.archives-ouvertes.fr:tel-00004116 |
| Date | 05 December 2003 |
| Creators | ANDREOLETTI, Pierre |
| Publisher | Université de la Méditerranée - Aix-Marseille II |
| Source Sets | CCSD theses-EN-ligne, France |
| Language | French |
| Detected Language | French |
| Type | PhD thesis |
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