Θεωρούμε μία ακολουθία από n ανεξάρτητες τυχαίες μεταβλητές Bernoulli, X1,X2,...,Xn (n>0) διατεταγμένες σε γραμμή. Τα δυνατά αποτελέσματα είναι δύο και χαρακτηρίζονται ως επιτυχία (S ή 1) ή αποτυχία (F ή 0). Ροή επιτυχιών είναι μία ακολουθία συνεχόμενων επιτυχιών (S) των οποίων προηγούνται και έπονται αποτυχίες (F) ή τίποτα. Μήκος μιας ροής επιτυχιών είναι ο αριθμός των επιτυχιών που περιλαμβάνονται στη ροή.
Η μελέτη τυχαίων μεταβλητών που σχετίζονται με ροές είναι ιδιαίτερα αποτελεσματική σε πολλά επιστημονικά πεδία. Συγκεκριμένα, η μελέτη του αριθμού των ροών επιτυχιών σύμφωνα με διάφορα σχήματα απαρίθμησης αποτελεί ένα ενδιαφέρον θέμα ήδη από την εποχή του De Moivre (1756). Το 1940, ορίστηκε η βάση για τη δημιουργία ελέγχων υποθέσεων από τους Wald και Wolfowitz (1940) και τον Wolfowitz (1943). Επίσης, οι ροές χρησιμοποιήθηκαν και στον ποιοτικό έλεγχο από τους Mosteller (1941) και Wolfowitz (1943). Στις μέρες μας πέρα από τη Στατιστική, εφαρμόζεται και σε άλλες επιστημονικές περιοχές όπως η βιολογία (ακολουθίες DNA), η οικολογία, η ψυχολογία, η αστρονομία και η αξιοπιστία μηχανικών συστημάτων.
Η παρούσα εργασία επικεντρώνεται στην μελέτη τυχαίων μεταβλητών, που μετρούν ροές επιτυχιών μήκους k. Αρχικά, αναλύονται οι τυχαίες μεταβλητές Nn,k και Mn,k, που παριστάνουν τον αριθμό των μη επικαλυπτόμενων ροών επιτυχιών μήκους k σύμφωνα με τον Feller (1968) και τον αριθμό των επικαλυπτόμενων ροών επιτυχιών μήκους k σύμφωνα με τον Ling (1988), αντίστοιχα. Επίσης, μελετάται η ασυμπτωτική τους συμπεριφορά και προσδιορίζεται η κατανομή τους μέσω συνδυαστικών μεθόδων, αναδρομικών σχημάτων, αθροισμάτων πολυωνυμικών και διωνυμικών συντελεστών καθώς και μέσω της μεθόδου εμβάπτισης τυχαίας μεταβλητής σε Μαρκοβιανή αλυσίδα. Δίνονται εκφράσεις για τη μέση τιμή, τη διασπορά και τη ροπογεννήτρια της τυχαίας μεταβλητής Mn,k. Επιπλέον, αναλύεται μια νέα κατηγορία αρνητικής διωνυμικής κατανομής τάξης k.
Στη συνέχεια, δίνεται έμφαση στη μελέτη της τυχαίας μεταβλητής Nn,k,l, η οποία παριστάνει τον αριθμό των l-επικαλυπτόμενων ροών επιτυχιών μήκους k σε n ανεξάρτητες δοκιμές Bernoulli και γίνεται μία αναφορά στις γενικευμένες διωνυμικές κατανομές τάξης k. Παρουσιάζονται εκφράσεις για τη μέση τιμή και τη πιθανογεννήτρια συνάρτηση της τυχαίας μεταβλητής Nn,k,l και προσδιορίζεται η κατανομή της αναδρομικά, συνδυαστικά και μέσω της μεθόδου εμβάπτισης τυχαίας μεταβλητής σε Μαρκοβιανή αλυσίδα. Επίσης, μελετάται η τυχαία μεταβλητή Nn,k,l σε ακολουθία που προκύπτει από το σχήμα δειγματοληψίας Polya-Eggenberger.
Τέλος, γίνεται σύνδεση της αξιοπιστίας m-συνεχόμενων-k-από-τα-n συστημάτων αποτυχίας με τις κατανομές των τυχαίων μεταβλητών Nn,k, Mn,k και Nn,k,l και παρουσιάζονται εκφράσεις για τον υπολογισμό της αξιοπιστίας αυτών των συστημάτων. / Consider a sequence X1,X2,...,Xn (n>0) of binary trials with outcomes arranged on a line. There are two possible outcomes, either a success (S ή 1) or a failure (F ή 0). A success run is a sequence of consecutive successes preceded and followed by failures (F) or by nothing. The number of successes in a success run is referred to as its length.
The concept of runs has been used in various areas. In the early 1940s it was used in the area of hypothesis testing (run test) by Wald and Wolfowitz (1940) and Wolfowitz (1943) and in the area of statistical quality control by Mosteller (1941) and Wolfowitz (1943). Recently, it has been successfully used in many other areas, such as reliability of engineering systems, quality control, DNA sequencing, psychology, ecology and radar astronomy.
Different enumerative schemes have been employed while discussing the number of success runs. The study of the random variables Nn,k and Mn,k, representing the number of non-overlapping consecutive k successes, in the sense of Feller’s (1968) counting and the number of overlapping consecutive k successes, in the sense of Ling’s (1988) counting, respectively, is important for this study. Also, the asymptotic behavior of these random variables is discussed. The methods that have been used to obtain the distributions of Nn,k and Mn,k are also presented, i.e. combinatorial analysis, recursive schemes and the Markov chain imbedding technique. The mean, the variance and the moment generating function of Mn,k are given. In addition, a new class of negative binomial distribution of order k is analyzed.
This work is focused on the study of the random variable Nn,k,l, which represents the number of l-overlapping success runs of length k in n Bernoulli trials. Our study gives an overview of results referring to the distribution of the random variable Nn,k,l defined on sequences of Bernoulli trials (independent and identically distributed) and Markov trials. Also, formulae for the mean value and the probability generating function of Nn,k,l are presented. The distribution of Nn,k,l is determined recursively, combinatorially and via the Markov chain imbedding technique. Moreover, the random variable Nn,k,l is studied for sequences with outcomes from a Polya-Eggenberger sampling scheme.
The distributions of Nn,k, Mn,k and Nn,k,l is used to study m-consecutive-k-out-of-n:F systems, i.e. systems that fail if and only if at least m sequences of k consecutive components fail. Several results concerning the reliability of such systems are also presented.
| Identifer | oai:union.ndltd.org:upatras.gr/oai:nemertes:10889/8772 |
| Date | 05 June 2015 |
| Creators | Σπέη, Μαρία |
| Contributors | Μακρή, Ευφροσύνη, Spei, Maria, Μακρή, Ευφροσύνη, Αλεβίζος, Φίλιππος, Κουρουκλής, Σταύρος |
| Source Sets | University of Patras |
| Language | gr |
| Detected Language | Greek |
| Type | Thesis |
| Rights | 0 |
Page generated in 0.0024 seconds