Dans la première partie de la thèse, nous caractérisons les exemples de Lattès parmi les endomorphismes holomorphes de CP(k) par l'absolue continuité de leur mesure d'entropie maximale. Il s'ensuit une caractérisation des exemples de Lattès en terme d'exposants de Lyapounoff de cette mesure. Ces résultats montrent que, génériquement, la mesure d'entropie maximale d'un endomorphisme holomorphe de degré d de CP(k) n'est pas absolument continue par rapport à la mesure de Lebesgue (elle est par conséquent singulière, en vertu de son ergodicité), et que l'un au moins de ses exposants est strictement plus grand que log d /2. Ceci répond à une question posée par Fornaess et Sibony. La caractérisation des exemples de Lattès par leur mesure d'entropie maximale repose sur un principe de renormalisation, dont l'élaboration utilise l'interprétation pluripotentialiste de cette mesure comme masse de Monge-Ampère. Le passage de la minimalité des exposants à l'absolue continuité fut établi par Ledrappier en dimension 1, et relève de la théorie ergodique. Les arguments en dimension plus grande que un sont les mêmes. La seconde partie est consacrée à l'étude du bassin d'attraction de l'origine des relevés polynomiaux des exemples de Lattès. Nous montrons que le bord de ces domaines se désingularise explicitement en une hypersurface sphérique compacte. Ces domaines sont donc assez surprenants, puisqu'ils sont proches de la boule euclidienne et admettent des auto-applications holomorphes propres non injectives. Nous construisons la désingularisation du bord du bassin d'attraction dans un fibré en droites au dessus d'un tore, à l'aide de fonctions theta. La description des singularités s'obtient alors grace à quelques éléments de la théorie des invariants.
| Identifer | oai:union.ndltd.org:CCSD/oai:tel.archives-ouvertes.fr:tel-00002634 |
| Date | 29 November 2002 |
| Creators | Dupont, Christophe |
| Publisher | Université Paul Sabatier - Toulouse III |
| Source Sets | CCSD theses-EN-ligne, France |
| Language | French |
| Detected Language | French |
| Type | PhD thesis |
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