Le cadre général de cette thèse est l'étude des polynômes comme objets de modèles de calcul. Cette approche permet de définir de manière précise la complexité d'évaluation d'un polynôme, puis de classifier des familles de polynômes en fonction de leur difficulté dans ce modèle. Dans cette thèse, nous nous intéressons en particulier au modèle AffPow des sommes de puissance de forme linéaire, i.e. les polynômes qui s'écrivent $f = \sum_{i = 1}^s \alpha_i \ell_i^{e_i}$, avec $\deg \ell_i = 1$. Ce modèle semble assez naturel car il étend à la fois le modèle de Waring $f = \sum \alpha_i \ell_i^d$ et le modèle du décalage creux $f = \sum \alpha_i \ell^{e_i}$, mais peu de résultats sont connus pour cette généralisation.Nous avons pu prouver des résultats structurels pour la version univarié de ce modèle, qui nous ont ensuite permis d'obtenir des bornes inférieures et des algorithmes de reconstruction, qui répondent au problème suivant : étant donné $f = \sum \alpha_i (x-a_i)^{e_i}$ par la liste de ses coefficients, retrouver les $\alpha_i, a_i, e_i$ qui apparaissent dans la décomposition optimale de $f$.Nous avons aussi étudié plus en détails la version multivarié du modèle, qui avait été laissé ouverte par nos précédents algorithmes de reconstruction, et avons obtenu plusieurs résultats lorsque le nombre de termes dans une expression optimale est relativement petit devant le nombre de variables ou devant le degré du polynôme. / The general framework of this thesis is the study of polynomials as objects of models of computation. This approach allows to define precisely the evaluation complexity of a polynomial, and then to classify families of polynomials depending on their complexity. In this thesis, we focus on the study of the model of sums of affine powers, that is polynomials that can be written as $f = \sum_{i = 1}^s \alpha_i \ell_i^{e_i}$, with $\deg \ell_i = 1$.This model is quite natural, as it extends both the Waring model $f = \sum \alpha_i \ell_i^d$ , and the sparsest shift model $f = \sum \alpha_i \ell^{e_i}$, but it is still not well known.In this work, we obtained structural results for the univariate variant of this model, which allow us to obtain lower bounds and reconstruction algorithms, that solve the following problem : given $f = \sum \alpha_i (x-a_i)^{e_i}$ as a list of its coefficient, find the values of the $\alpha_i$’s, $e_i$’s and $a_i$’s in the optimal decomposition of $f$.We also studied the multivariate case and obtained several reconstruction algorithms that work whenever the number of terms in the optimal expression is small in terms of the number of variable or the degree of the polynomial.
| Identifer | oai:union.ndltd.org:theses.fr/2018LYSEN029 |
| Date | 11 July 2018 |
| Creators | Pecatte, Timothée |
| Contributors | Lyon, Koiran, Pascal |
| Source Sets | Dépôt national des thèses électroniques françaises |
| Language | English |
| Detected Language | French |
| Type | Electronic Thesis or Dissertation, Text |
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