Cette thèse a pour objet d'affiner les critères pour l'indépendance algébrique et les mesures d'indépendance algébrique démontrés par P. Philippon et par E.M. Jabbouri d'une part, et l'indépendance linéaire et les mesures d'indépendance linéaire établis par Y.V. Nesterenko et par P. Bundschuh et T. Töpfer d'autre part, réalisant ainsi une jonction entre les problèmes d'indépendance linéaire et algébrique sur un corps de nombres. Ils diffèrent des critères démontrés par P. Philippon et par E.M. Jabbouri par l'utilisation de nouvelles hauteurs et de nouvelles distances qui coïncident, dans le cas linéaire, à celles utilisées par Y.V. Nesterenko et par P. Bundschuh et T. Töpfer. Ils énoncent de façon générale, que dans un espace projectif, lorsqu'on a un système de formes définies sur un corps de nombres, prenant des valeurs petites en un point, mais n'ayant pas de zéro commun trop proche de ce point, alors on peut minorer la distance de ce point à toute variété définie sur le corps de nombres, de dimension, degré et hauteur bornés en fonction des formes

Cette thèse est consacrée à l'étude des valeurs de la fonction zêta de Riemann aux entiers impairs. Quatre résultats sont démontrés : - Soit $a$ un nombre rationnel, $\vert a \vert <1$. Le Q-espace vectoriel engendré par $1, Li_1(a), Li_2(a),...$ est de dimension infinie. - Le Q-espace vectoriel engendré par $1, \zeta(3), \zeta(5), \zeta(7),...$ est de dimension infinie. - Il existe un entier impair $j$, $5\le j \le 169$ tel que $1, \zeta(3), \zeta(j)$ sont linéairement indépendants sur Q. - Au moins un des neuf nombres $\zeta(5), \zeta(7),..., \zeta(21)$ est irrationnel.

Cette thèse s'inscrit dans le prolongement du résultat d'Apéry donnant l'irrationalité de ζ (3) et de celui de Ball-Rivoal prouvant qu'il existe une infinité d'entiers impairs en lesquels la fonction zêta de Riemann prend des valeurs irrationnelles. Un outil crucial dans la démonstration de Ball-Rivoal est le critère d'indépendance linéaire de Nesterenko, qui a été généralisé par Fischler et Zudilin pour exploiter sous des hypothèses très restrictives la présence de diviseurs communs aux coefficients des formes linéaires. Une généralisation ultérieure due à Fischler s'applique lorsqu'on dispose d'approximations simultanées des nombres réels en question (et non plus de combinaisons Z-linéaires petites de ces nombres).Dans cette thèse, on améliore ce dernier résultat en affaiblissant considérablement les hypothèses sur les diviseurs. On démontre aussi un critère d'indépendance linéaire analogue, dans l'esprit de celui de Siegel. Dans une autre partie en commun avec Zudilin, on construit, en utilisant des identités hypergéométriques, des approximations simultanées de ζ (2) et ζ (3) qui permettent de démontrer en même temps l'irrationalité de ces deux nombres. En appliquant essentiellement le critère démontré précédemment, on en déduit une minoration des combinaisons Z-linéaires de 1, ζ 2) et ζ (3), sous des hypothèses de divisibilité très fortes sur les coefficients (si bien que l'indépendance linéaire sur Q de ces trois nombres est toujours conjecturale). / This Ph.D. thesis lies in the path opened by Apéry who proved the irrationality of ζ(3) andalready followed by Ball-Rivoal who proved that there are infinitely many odd integers at which Riemann zeta function takes irrational values. A fundamental tool in the proof of Ball-Rivoal is Nesterenko’s linear independence criterion. This criterion has been generalized by Fischler and Zudilin to use common divisors of the coefficients of linear forms, under some restrictive assumptions. Then Fischler gave another generalization for simultaneous approximations (instead of small Z-linear combinations).In this Ph.D. thesis, we improve this last result by greatly weakening the assumption on thedivisors. We prove also an analogous linear independence criterion in the spirit of Siegel. Inanother part joint with Zudilin, we construct simultaneous linear approximations to ζ(2) and ζ(3) using hypergeometric identitites. These linear approximations allow one to prove at thesame time the irrationality of ζ(2) and that of ζ(3). Then, using a criterion from the previouspart, we deduce a lower bound on Z-linear combinations of 1, ζ(2) and ζ(3), under somestrong divisibility hypotheses on the coefficients (so that the Q-linear independence of thesethree numbers still remains an open problem).

Le cadre général de cette thèse est l'étude des polynômes comme objets de modèles de calcul. Cette approche permet de définir de manière précise la complexité d'évaluation d'un polynôme, puis de classifier des familles de polynômes en fonction de leur difficulté dans ce modèle. Dans cette thèse, nous nous intéressons en particulier au modèle AffPow des sommes de puissance de forme linéaire, i.e. les polynômes qui s'écrivent $f = \sum_{i = 1}^s \alpha_i \ell_i^{e_i}$, avec $\deg \ell_i = 1$. Ce modèle semble assez naturel car il étend à la fois le modèle de Waring $f = \sum \alpha_i \ell_i^d$ et le modèle du décalage creux $f = \sum \alpha_i \ell^{e_i}$, mais peu de résultats sont connus pour cette généralisation.Nous avons pu prouver des résultats structurels pour la version univarié de ce modèle, qui nous ont ensuite permis d'obtenir des bornes inférieures et des algorithmes de reconstruction, qui répondent au problème suivant : étant donné $f = \sum \alpha_i (x-a_i)^{e_i}$ par la liste de ses coefficients, retrouver les $\alpha_i, a_i, e_i$ qui apparaissent dans la décomposition optimale de $f$.Nous avons aussi étudié plus en détails la version multivarié du modèle, qui avait été laissé ouverte par nos précédents algorithmes de reconstruction, et avons obtenu plusieurs résultats lorsque le nombre de termes dans une expression optimale est relativement petit devant le nombre de variables ou devant le degré du polynôme. / The general framework of this thesis is the study of polynomials as objects of models of computation. This approach allows to define precisely the evaluation complexity of a polynomial, and then to classify families of polynomials depending on their complexity. In this thesis, we focus on the study of the model of sums of affine powers, that is polynomials that can be written as $f = \sum_{i = 1}^s \alpha_i \ell_i^{e_i}$, with $\deg \ell_i = 1$.This model is quite natural, as it extends both the Waring model $f = \sum \alpha_i \ell_i^d$ , and the sparsest shift model $f = \sum \alpha_i \ell^{e_i}$, but it is still not well known.In this work, we obtained structural results for the univariate variant of this model, which allow us to obtain lower bounds and reconstruction algorithms, that solve the following problem : given $f = \sum \alpha_i (x-a_i)^{e_i}$ as a list of its coefficient, find the values of the $\alpha_i$’s, $e_i$’s and $a_i$’s in the optimal decomposition of $f$.We also studied the multivariate case and obtained several reconstruction algorithms that work whenever the number of terms in the optimal expression is small in terms of the number of variable or the degree of the polynomial.