Ce travail est consacré à la recherche de surfaces de Riemann (\it compactes) extrê\-mes (i.e. maxima locaux) pour la systole, ou tout au moins parfaites. En genre 4, on donne une nouvelle surface extrême et deux surfaces parfaites non extrêmes (ce sont les premiers exemples de telles surfaces en genre $\leq 10$). La méthode consiste à réaliser géométriquement les groupes d'automorphismes à 4 points de branchements. En effet, le lieu des points fixes dans l'espace de Teichmüller $T_g$ d'un tel groupe, dépend d'un paramètre complexe qu'on peut alors ajuster pour maximiser la systole. On étudie ensuite les propriétés variationnelles dans $T_g$ des surfaces obtenues. Par extension de cette méthode, on trouve également une nouvelle surface extrême en genre 6, ainsi qu'une suite infinie de surfaces parfaites non extrêmes de genre $g>3$. En outre, on retrouve, de manière unifiée, les surfaces déjà connues en genre $\leq 5$. La méthode employée pour la recherche de surfaces parfaites, permet de trouver parallèlement un certain nombre de surfaces eutactiques, qui sont intéressantes à classifier en elles-mêmes puisque ce sont les points critiques de la fonction systole. Enfin, le dernier chapitre, développant une toute autre approche, concerne une méthode purement algébrique qui permet de redémontrer l'extrémalité des surfaces respectivement de Bolza et de Klein.
| Identifer | oai:union.ndltd.org:CCSD/oai:tel.archives-ouvertes.fr:tel-00005446 |
| Date | 12 July 2000 |
| Creators | Casamayou, Alexandre |
| Publisher | Université Sciences et Technologies - Bordeaux I |
| Source Sets | CCSD theses-EN-ligne, France |
| Language | French |
| Detected Language | French |
| Type | PhD thesis |
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