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Some Contributions to the Study of Evolution Equation Describing Pseudospherical Surfaces and the Theory of Zero-Curvature Representations

Submitted by Santos Davilene (davilenes@ufba.br) on 2017-05-30T22:02:04Z
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Tese - Versão definitiva- Luiz Alberto Oliveira.pdf: 1176212 bytes, checksum: 682151271cf115f6a5ac0fea44cd999a (MD5) / Este trabalho fornece algumas contribuições originais para o estudo geométrico de equações
evolutivas que descrevem superfícies pseudo-esféricas (equações PEs). Por definição, uma equação PE para funções z = z(x; t) _e equivalente _as equações de estrutura d!1 = !3 ^ !2, d!2 = !1 ^ !3, d!3 =!1 ^ !2 de uma variedade Riemanniana 2-dimensional com curvatura Gaussiana K = 􀀀1, com 1-formas !i = fi1 dx+fi2 dt, i = 1; 2; 3, satisfazendo a condições de não-degeneração !1 ^ !2 6= 0 e com fij funções suaves de x, t, z e suas derivadas com respeito a x e t. Usando a noções de representação a curvatura nula (RCN), pode-se dizer que toda equação PE admite uma RCN a valores em sl (2;R). / A primeira contribui¸c˜ao deste trabalho diz respeito a uma classifica¸c˜ao completa e explícita de
equações PEs evolutivas de segunda ordem da forma zt = A(x, t, z)z2 + B(x, t, z, z1), com z = z (x, t) e
zi =

i
z
∂xi
, sob as hip´oteses que fij = fij (x, t, z, z1, z2) e f21 = η. De acordo com a classifica¸c˜ao dada,
estas equações subdividem-se em trˆes classes principais (chamadas de Tipos I-III) juntamente com os
correspondentes sistemas de 1-formas {ω1, ω2, ω3} que, em virtude da hipótese f21 = η, definem para
cada tipo uma fam´ılia a 1-parˆametro de RCNs associadas. Nesta classe de equações PEs encontram-se
em particular algumas equações já conhecidas, dentre as quais as equações integráveis classificadas por
Svinolupov e Sokolov, a equa¸c˜ao de Boltzmann, e equa¸c˜oes de rea¸c˜ao e difus˜ao como a equa¸c˜ao de Murray.
Ulteriores novos exemplos explicitos s˜ao tamb´em apresentados.
A segunda contribuição ´e relativa ao problema de existência de imersões isométricas locais,
no espaço Euclidiano 3-dimensional E3
, para as fam´ılias de superf´ıcies pseudo-esf´ericas descritas pelas
equa¸c˜oes PEs da classifica¸c˜ao acima. O resultado principal obtido neste caso ´e que estas imers˜oes existem
somente para as equa¸c˜oes do Tipo I, que possuem forma de lei de conserva¸c˜ao, e isso levou `a uma
extens˜ao natural deste resultado ao caso das equa¸c˜oes evolutivas de ordem k da forma Dt (f(x, t, z)) =
Dx (Ω(x, t, z, z1, . . . , zk)). No ˆambito da literatura existente sobre este problema, todos os resultados
obtidos nesta parte do trabalho s˜ao novos; em particular al´em de equa¸c˜oes de segunda ordem, como por
exemplo as equa¸c˜oes de Boltzmann, Murray e as equa¸c˜oes de Svinolupov e Sokolov, entre os exemplos
de equa¸c˜oes PEs que admitem este tipo de imers˜ao isom´etrica h´a tamb´em equa¸c˜oes de ordem superior
como as equa¸c˜oes de Kuramoto-Sivashinsky, Sawada-Kotera, Kaup-Kupershmidt e inteiras hierarquias
de equa¸c˜oes integr´aveis como as de Burgers, mKdV e KdV.
Finalmente, n´os consideramos o problema de construir fam´ılias a 1-parˆametro n˜ao-triviais de
RCNs para equações PEs. Este problema ´e de interesse especial para as aplicações da teoria das RCNs,
por exemplo no calculo de soluções exatas e hierarquias infinitas de leis de conserva¸c˜ao, e tem sido
resolvido no caso mais geral de RCNs a valores em g, com g uma sub-´álgebra de gl(n, R) ou gl(n, C),
usando a teoria de simetrias clássicas de equacões diferenciais.

Identiferoai:union.ndltd.org:IBICT/oai:192.168.11:11:ri/22667
Date07 December 2015
CreatorsSilva, Luiz Alberto de Oliveira
ContributorsFerraioli, Diego Catalano, Ferraioli, Diego Catalano, Araújo, Vitor Domingos Martins de, Molitor, Mathieu, Tenenblat, Keti, Pina, Romildo da Silva
PublisherInstituto de Matemática. Departamento de Matemática, Doutorado em Matemática UFBA/UFAL, UFBA, brasil
Source SetsIBICT Brazilian ETDs
LanguagePortuguese
Detected LanguagePortuguese
Typeinfo:eu-repo/semantics/publishedVersion, info:eu-repo/semantics/doctoralThesis
Sourcereponame:Repositório Institucional da UFBA, instname:Universidade Federal da Bahia, instacron:UFBA
Rightsinfo:eu-repo/semantics/openAccess

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