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Previous issue date: 2017-02-15 / Em mecânica clássica, o caos é caracterizado por uma forte dependência das trajetórias no espaço de fases com suas condições iniciais. Esta dependência é comumente quantificada por um expoente de Lyapunov positivo. Mais geralmente, a teoria ergódica dos sistemas dinâmicos os classifica nos conjuntos simplesmente ergódico (E), mixing (M), Kolmogorov (K) e Bernoulli (B). Apenas os sistemas K e B são caóticos. Protótipos simples nessa teoria são os bilhares, cavidades planas onde uma partícula move-se livremente entre colisões elásticas com a fronteira. Esta dinâmica conservativa pode variar de regular a caótica, dependendo apenas da geometria da borda. Em mecânica quântica, o princípio da incerteza inviabiliza uma caracterização do caos baseada em trajetórias. Assim, os resultados apresentados nesta tese procuram contribuir para este tema desafiador e que tem sido de grande interesse nas últimas décadas: a quantização de sistemas classicamente caóticos. Aqui, apresentamos resultados numéricos sobre propriedades clássicas e quânticas de uma família de Bilhares em Triângulos Irracionais (BTIs) e de Bilhares em Estádios Elípticos (BEEs). A motivação para o estudo dos BTIs é que classicamente polígonos nunca são caóticos, mas uma conjectura proposta por Casati e Prosen (CP) sugere que BTIs são fortemente mixing. Para os BEEs, a conjectura de Markarian e colaboradores (Mc) remete a uma possível linha de transição entre um espaço de fases misto e outro completamente caótico. Aqui, a dinâmica clássica foi caracterizada através da medida relativa, de funções de correlação e pela entropia de Shannon. Nos BTIs, verificamos que a irracionalidade dos ângulos não é condição suficiente para que eles sejam fortemente mixing, restringindo a conjectura de CP. Nos BEEs, encontramos evidências numéricas para uma transição tipo λ com os mesmos expoentes críticos observados no hélio líquido, resultados que dão interessante suporte à conjectura de Mc. No âmbito da quantização, utilizamos um método de scaling para obter 150 000 autovalores de energia para cada bilhar. Investigamos a distribuição de espaçamento entre primeiros vizinhos p(s), a rigidez espectral Δ₃(L), e a presença de ruído 1/fᵅ a na estatística δn. Nos BTIs, mostramos que p(s) e Δ₃(L) se aproximam dos resultados previstos para o Ensemble Gaussiano Ortogonal (GOE) das matrizes aleatórias quando a geometria corresponde a uma dinâmica clássica fortemente mixing. Este resultado nos faz acreditar que a propriedade ergódica necessária para espectros tipo GOE no limite quântico é a de mixing forte, não caos, como frequentemente considerado na literatura. Nos BEEs, mostramos que na região onde o espaço de fases é misto, p(s) é bem descrita pela distribuição de Brody ou pela distribuição de Berry-Robnik-Brody. Embora ajustes próximos aos do GOE sejam satisfatórios na região caótica, não foi possível verificar uma linha de transição clara entre os dois regimes a partir das propriedades quânticas investigadas. / In classical mechanics, chaos is characterized by a strong dependence of the trajactories in phase space on their initial conditions. This dependence is usually quantified by a positive Lyapunov exponent. More generally, the ergodic theory sorts the dynamical systems into four sets, namely, sheer ergodic (E), mixing (M), Kolmogorov (K) and Bernoulli. Only systems K and B are chaotic. Billiards, i.e., flat cavities where a particle is free to move between elastic collisions with the boundary, are simple prototype systems in that theory. The conservative dynamics of a billiard may vary from regular to chaotic, depending only on the geometry of the border. In quantum mechanics, the uncertainty principle prevents a characterization of chaos based on well defined trajectories. The results reported on this thesis seek to shed light on this challenging subject, which has been of great interest in the past three decades, namely, the quantization of classically chaotic systems. Here, we present numerical results on some classical and quantum properties in a one-parameter family of Irrational Triangular Billiards (ITBs) and a biparametric family of Elliptical Stadium Billiards (ESBs). The motivation for studying the ITBs is that billiards in polygons are never chaotic, but a conjecture by Casati and Prosen (CP) suggests that ITBs are strongly mixing. On the other hand, the conjecture by Markarian and co-workers (Mc) refers to a possible transition line between a mixed phase space and another fully chaotic region in the ESB dynamics. Here, we characterize the classical dynamics through the relative measure, correlation functions and the Shannon entropy. In the ITBs, our results indicate that the irrationality of the angles is not a sufficient condition for the strong mixing property, thus limiting the CP conjecture. In the ESBs, we found numerical evidences of a l transition with the same critical exponents observed in liquid helium, results that support the Mc conjecture. As far as quantization is concerned, we used a scaling method to obtain 150,000 energy eigenvalues in each billiard.We investigated the nearest neighbor spacing distribution p(s), the spectral rigidity Δ₃(L), and the presence of 1/fᵅ noise in the δn statistic. In the ITBs, we show that the calculated p(s) and Δ₃(L) are close to the results of the Gaussian Ortogonal Ensemble (GOE) of random matrices when the geometry corresponds to a strongly mixing classical dynamics. This result suggests that the ergodic property required for the observation of GOE spectral correlations in the quantum limit is strongly mixing, not chaos, as usually considered in the literature. In the ESBs, we show that in the mixed region of the phase space, p(s) is well described either by the Brody or Berry-Robnik-Brody distributions. As expected, GOE statistics are observed in the chaotic region. However, differently from the classical dynamics, no clear evidence of a critical line was observed from the quantum properties here investigated.
| Identifer | oai:union.ndltd.org:IBICT/oai:repositorio.ufpe.br:123456789/25096 |
| Date | 15 February 2017 |
| Creators | LIMA, Tiago Araújo de Paula |
| Contributors | http://lattes.cnpq.br/1647493587621652, AGUIAR, Flavio Menezes de |
| Publisher | Universidade Federal de Pernambuco, Programa de Pos Graduacao em Fisica, UFPE, Brasil |
| Source Sets | IBICT Brazilian ETDs |
| Language | Portuguese |
| Detected Language | English |
| Type | info:eu-repo/semantics/publishedVersion, info:eu-repo/semantics/doctoralThesis |
| Source | reponame:Repositório Institucional da UFPE, instname:Universidade Federal de Pernambuco, instacron:UFPE |
| Rights | Attribution-NonCommercial-NoDerivs 3.0 Brazil, http://creativecommons.org/licenses/by-nc-nd/3.0/br/, info:eu-repo/semantics/openAccess |
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