Nome completo do orientador: Ramón Orestes Mendoza Ahumada / Submitted by Fernanda Rodrigues de Lima (fernanda.rlima@ufpe.br) on 2018-10-01T22:38:30Z
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Previous issue date: 2011-08-29 / CAPES / O Teorema da Dimensão das Fibras para variedades projetivas ´e uma ferramenta muito importante da Geometria Algébrica e tem inúmeras aplicações. Por exemplo, pode-se utilizá-lo para calcular a dimensão do espaço das matrizes cujo posto ´e menor do que ou igual a k ou a dimensão da variedade de incidência Τ={(π,ι,ρ) l ρ ∈ ι ⊂ π}, onde π é um plano, ι é uma reta e ρ é um ponto em algum espaço projetivo. Neste trabalho, apresentamos a versão do Teorema da Dimensão das Fibras para esquemas afins. Esta versão ´e particularmente interessante devido a existência de pontos não-fechados. A estratégia utilizada para provar este resultado é a sugerida pelo exercício 3.22 da página 95 em (1) e também utilizada em (2). Inicialmente, estudamos o conceito de Espaço Topológico Noetheriano e apresentamos duas classes básicas e importantes em Geometria Algébrica: Variedades Afins e Espectros de Anéis; consideramos a noção de dimensão a partir dos pontos de vista algébrico - dimensão de Krull de um anel comutativo e grau de transcendência de uma extensão de corpos - e topológico e provamos que se considerarmos uma K-álgebra finitamente gerada, os três conceitos de dimensão apresentados coincidem. Em seguida, definimos pré-feixe, feixe e morfismos entre feixes e exibimos vários exemplos; apresentamos os esquemas afins, os morfismos entre esquemas afins e a equivalência entre a categoria dos anéis e a categoria dos esquemas afins, e demonstramos o nosso resultado principal. Por fim, exibimos duas aplicações relevantes e diversas do Teorema da Dimensão das Fibras: a contagem das retas numa superfície cúbica no espaço projetivo tridimensional complexo (um problema da Geometria Algébrica) e a finitude genérica das configurações de Dziobek (um problema da Mecânica Celeste). / The Fibers Dimension Theorem for projective varieties is a very important tool of Algebraic Geometry and has many applications. For example, it can be used to calculate the dimension of the space of matrices whose rank is less than or equal to k or the size of incidence variety Τ={(π,ι,ρ) l ρ ∈ ι ⊂ π} where π is a plane, ι is a line, and ρ is a point in some projective space. In this work, we present the version of the Fibers Dimension Theorem for affine schemes. This version is particularly interesting due to the existence of nonclosed points. The strategy used to prove this result is suggested by the exercise 3:22 from the page 95 in (1) and also used in (2). Initially, we studied the Noetherian Topological Space concept and presented two basic and important classes in Algebraic Geometry: Affine Varieties and Ring Spectrum; we consider the notion of dimension from the algebraic points of view - Krull dimension of a commutative ring and degree of transcendence of a field extension - and topological, and prove that if we consider a finitely generated K-algebra then the three dimension concepts presented coincide. Next, we define pre-sheaf, sheaf and morphisms between sheaves and we show several examples; we present the affine schemes, the morphisms between affine schemes, and the equivalence between the category of rings and the category of affine schemes, and we demonstrate our main result. Finally, we present two relevant and diverse applications of the Fiber Dimension Theorem: the counting of the lines on a cubic surface in the complex three-dimensional projective space (an Algebraic Geometry problem) and the generic fineness of the Dziobek configurations (a Celestial Mechanics problem).
| Identifer | oai:union.ndltd.org:IBICT/oai:repositorio.ufpe.br:123456789/27717 |
| Date | 29 August 2011 |
| Creators | SILVA, Manaíra Lima da |
| Contributors | http://lattes.cnpq.br/6149844465285486, MENDOZA, Ramón, ROJAS ARANCIBIA, Jacqueline Fabiola |
| Publisher | Universidade Federal de Pernambuco, Programa de Pos Graduacao em Matematica, UFPE, Brasil |
| Source Sets | IBICT Brazilian ETDs |
| Language | Portuguese |
| Detected Language | English |
| Type | info:eu-repo/semantics/publishedVersion, info:eu-repo/semantics/masterThesis |
| Source | reponame:Repositório Institucional da UFPE, instname:Universidade Federal de Pernambuco, instacron:UFPE |
| Rights | Attribution-NonCommercial-NoDerivs 3.0 Brazil, http://creativecommons.org/licenses/by-nc-nd/3.0/br/, info:eu-repo/semantics/openAccess |
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