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Previous issue date: 2012-03-08 / Coordenação de Aperfeiçoamento de Pessoal de Nível Superior / This word is concerned with the study of bounded solutions of semilinear elliptic
equations u − F0(u) = 0 in the whole space Rn, under the assumption that u
is monotone in one direction, say, @u/@xn > 0 em Rn. The goal is to establish
the one-dimensional character or symmetry of u, namely, that u only depends on
one variable or, equivalently, that the level sets of u are hyperplanos. This type of
symmetry question was raised by de Giorgi in 1978 (see [6]), who made the folowing
conjecture:
Conjecture Suppose that u 2 C2(Rn) is solution of the equation
u + u − u3 = 0
satisfying
|u(x)| 1 and @u
@xn
> 0 in the whole Rn.
Then the level sets of u must be hyperplanes.
We show a stronger version of De Giorgi s conjecture is indeed true in dimension 2
and 3 using some techniques in the linear theory developed by Berestychi, Caffarelli
and Nirenberg [5] in one of their papers on qualitative properties of solutions of
semilinear elliptic equations. / Este trabalho se preocupa com o estudo de soluções limitadas de equações elípticas
semilineares u − F0(u) = 0 em todo espaço Rn, sob o pressuposto que u é
monótona em uma direção, digamos @u/@xn > 0 em Rn. O objetivo é estabelecer
o caráter unidimensional ou simetria de u, ou seja, que u depende apenas de uma
variável ou equivalentemente, que os conjuntos de nível de u são hiperplanos. Este
tipo de questão da simetria foi levantada por De Giorgi em 1978 (ver [6]), que fez a
seguinte conjectura:
Conjectura Suponha que u 2 C2(Rn) é solução da equação
u + u − u3 = 0
satisfazendo
|u(x)| 1 e @u
@xn
> 0 em todo Rn.
Então os conjuntos de nível de u são hiperplanos.
Mostraremos que uma versão forte da conjectura de De Giorgi é de fato verdade
em dimensão 2 e 3 usando somente técnicas da teoria linear desenvolvida por
Berestychi, Caffarelli e Nirenberg [5] em um dos seus artigos sobre as propriedades
qualitativas de equações elípticas semilineares.
| Identifer | oai:union.ndltd.org:IBICT/oai:tede.biblioteca.ufpb.br:tede/7409 |
| Date | 08 March 2012 |
| Creators | Sousa, Ivaldo Tributino de |
| Contributors | ó, João Marcos Bezerra do |
| Publisher | Universidade Federal da Paraíba, Programa de Pós Graduação em Matemática, UFPB, BR, Matemática |
| Source Sets | IBICT Brazilian ETDs |
| Language | Portuguese |
| Detected Language | Portuguese |
| Type | info:eu-repo/semantics/publishedVersion, info:eu-repo/semantics/masterThesis |
| Format | application/pdf |
| Source | reponame:Biblioteca Digital de Teses e Dissertações da UFPB, instname:Universidade Federal da Paraíba, instacron:UFPB |
| Rights | info:eu-repo/semantics/openAccess |
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