Made available in DSpace on 2015-05-15T11:46:13Z (GMT). No. of bitstreams: 1 arquivototal.pdf: 572294 bytes, checksum: 1c46e916c7cc2e4689880e2687dbee0b (MD5) Previous issue date: 2012-03-08 / Coordenação de Aperfeiçoamento de Pessoal de Nível Superior / This word is concerned with the study of bounded solutions of semilinear elliptic equations u − F0(u) = 0 in the whole space Rn, under the assumption that u is monotone in one direction, say, @u/@xn > 0 em Rn. The goal is to establish the one-dimensional character or symmetry of u, namely, that u only depends on one variable or, equivalently, that the level sets of u are hyperplanos. This type of symmetry question was raised by de Giorgi in 1978 (see [6]), who made the folowing conjecture: Conjecture Suppose that u 2 C2(Rn) is solution of the equation u + u − u3 = 0 satisfying |u(x)| 1 and @u @xn > 0 in the whole Rn. Then the level sets of u must be hyperplanes. We show a stronger version of De Giorgi s conjecture is indeed true in dimension 2 and 3 using some techniques in the linear theory developed by Berestychi, Caffarelli and Nirenberg [5] in one of their papers on qualitative properties of solutions of semilinear elliptic equations. / Este trabalho se preocupa com o estudo de soluções limitadas de equações elípticas semilineares u − F0(u) = 0 em todo espaço Rn, sob o pressuposto que u é monótona em uma direção, digamos @u/@xn > 0 em Rn. O objetivo é estabelecer o caráter unidimensional ou simetria de u, ou seja, que u depende apenas de uma variável ou equivalentemente, que os conjuntos de nível de u são hiperplanos. Este tipo de questão da simetria foi levantada por De Giorgi em 1978 (ver [6]), que fez a seguinte conjectura: Conjectura Suponha que u 2 C2(Rn) é solução da equação u + u − u3 = 0 satisfazendo |u(x)| 1 e @u @xn > 0 em todo Rn. Então os conjuntos de nível de u são hiperplanos. Mostraremos que uma versão forte da conjectura de De Giorgi é de fato verdade em dimensão 2 e 3 usando somente técnicas da teoria linear desenvolvida por Berestychi, Caffarelli e Nirenberg [5] em um dos seus artigos sobre as propriedades qualitativas de equações elípticas semilineares.

Submitted by Johnny Rodrigues (johnnyrodrigues@ufcg.edu.br) on 2018-07-24T16:01:03Z No. of bitstreams: 1 GEIZANE LIMA DA SILVA - DISSERTAÇÃO PPGMAT 2010..pdf: 596736 bytes, checksum: d02e34d40e7147e46c734ba297c181bf (MD5) / Made available in DSpace on 2018-07-24T16:01:03Z (GMT). No. of bitstreams: 1 GEIZANE LIMA DA SILVA - DISSERTAÇÃO PPGMAT 2010..pdf: 596736 bytes, checksum: d02e34d40e7147e46c734ba297c181bf (MD5) Previous issue date: 2010-03 / Capes / Neste trabalho estudamos a existência de soluções positivas do tipo blow-up para uma classe de equações elípticas semilineares. Usamos argumentos desenvolvidos por Cîrstea & Radulescu [6], Lair & Wood [20] e as técnicas empregadas são o Método de Sub e Supersolução, Teoremas de Ponto Fixo e em alguns resultados exploramos a simetria radial e algumas estimativas para equações elípticas. / In this work we studied the existence of blow-up positive solutions for the class of semilinear elliptic equations. We used arguments developed by Cîrstea & Radulescu [6], and by Lair & Shaker [20] and the techniques used are the method of Sub and Supersolution, Fixed point theorems and some results explored radial symmetry and some estimates for elliptic equations.

Made available in DSpace on 2015-05-15T11:46:04Z (GMT). No. of bitstreams: 1 arquivototal.pdf: 467058 bytes, checksum: ebe1089b4399fe71150fc70fa81ea4ed (MD5) Previous issue date: 2012-04-27 / Coordenação de Aperfeiçoamento de Pessoal de Nível Superior / In this work, we study a fixed point theorem for increasing operators in ordered normed spaces and we apply it in order to obtain results of existence of weak solution for semilinear elliptic equations of type 8<: ---u = f(x; u) + h; in u = 0; on @ ; where - RN is a smooth domain, f : -R --! R satisfies some convenient conditions and h 2 H--1(. / Neste trabalho, estudamos um teorema de ponto fixo para operadores crescentes em espaços vetoriais ordenados e o aplicamos para obter resultados de existência de solução fraca para problemas elípticos semilineares do tipo 8<: ---u = f(x; u) + h; em u = 0; sobre @ em que - RN é um domínio suave, f : - R ! R satisfaz algumas condições convenientes e h 2 H- -1(:).

Made available in DSpace on 2015-05-15T11:46:20Z (GMT). No. of bitstreams: 1 arquivototal.pdf: 842217 bytes, checksum: 4549b711fa61f709fe2ff3b8c94c4bef (MD5) Previous issue date: 2014-02-25 / Coordenação de Aperfeiçoamento de Pessoal de Nível Superior / In this work, we study the existence of positive solutions for a class of semilinear elliptic equations in a smooth bounded domain, with Dirichlet boundary condition and non-linear terms changing sign as well as with small perturbations. In order to obtain the positive solution, in the first case we use a version of the Mountain Pass Theorem in Ordered Banach spaces. In the second case, the main term is under assumptions that guarantee the application of the usual Mountain Pass Theorem and the perturbation term does not require any hypothesis. / Neste trabalho, estudamos existência de solução positiva para uma classe de equações elípticas semilineares em um domínio limitado suave, com condição de fronteira de Dirichlet, tanto com termos nao-lineares mudando de sinal, quanto com termos com pequenas perturbações. A fim de obtermos solução positiva, no primeiro caso, usamos uma versão do Teorema do Passo da Montanha para Espacos de Banach Ordenados. No segundo caso, o termo principal esta sob condições que garantem a aplicação do Teorema do Passo da Montanha usual e o termo de perturbação não requer nenhuma hipótese.

Submitted by Johnny Rodrigues (johnnyrodrigues@ufcg.edu.br) on 2018-08-05T12:59:20Z No. of bitstreams: 1 AILTON RODRIGUES DA SILVA - DISSERTAÇÃO PPGMAT 2012..pdf: 874312 bytes, checksum: 1dc2f2515ff17b649766c1fa11f76b11 (MD5) / Made available in DSpace on 2018-08-05T12:59:20Z (GMT). No. of bitstreams: 1 AILTON RODRIGUES DA SILVA - DISSERTAÇÃO PPGMAT 2012..pdf: 874312 bytes, checksum: 1dc2f2515ff17b649766c1fa11f76b11 (MD5) Previous issue date: 2012-02 / CNPq / Nesta dissertação, estudamos a existência de solução blow-up para uma classe de problemas e sistemas elípticos. A principal ferramenta usada foi o Método de Sub e Supersolução, além de Regularidade Elíptica e alguns resultados de Equações Diferenciais Ordinárias. / In this dissertation, we study the existence of blow-up solution for some classes of elliptic problem, which include scalar problem and elliptic systems. The main tool used is the sub and super-solution methods combined with elliptic regularity and some results of Ordinary Differential Equations.