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Previous issue date: 2013-03-15 / Coordenação de Aperfeiçoamento de Pessoal de Nível Superior - CAPES / For more than 2500 years, many of the great mathematicians interested in the
nature and the mysteries of fascinating number Pi , wonderful minds such that Archimedes,
Euler, Gauss, Abel, Jacobi, Weierstrass, among others. In this work we
will study some of the fundamental properties that characterize the number Pi. We
begin our work, proving that the ratio between the length of an arbitrary circumference
and its diameter is constant. For this, we use the completeness of the real
numbers. This constant is precisely the number Pi. The chapter 2 is dedicated to
he study of the irrationality of Pi. We present three proofs, a classical proof, due to
Lambert, and two modern proofs due to Cartwright and Ivan Niven. In addition
to be irrational, the number Pi is transcendental, that is, there is not a non zero
polynomial in one variable with rational coeficients that has Pi as root. This fact
was initially proved by Lindemann and as a consequence, the classical problem of
squaring the circle has no solution. In the chapter 3 we present , without proof,
a more general result, the celebrated Lindemann-Weierstrass theorem, which has a
corollary , the transcendence of Pi. Finally, in the chapter 4, chronology, curiosities,
approximations and series on Pi are studied. / Por mais de 2500 anos, muitos dos grandes matemáticos se interessaram na natureza
e nos mistérios do fascinante número Pi, mentes brilhantes como Arquimedes,
Euler, Gauss, Abel, Jacobi, Weierstrass, entre outros. Neste trabalho, estudaremos
algumas das propriedades fundamentais que caracterizam o número Pi. Iniciamos
nosso trabalho, provando que a razão entre o comprimento de uma circunferência
arbitrária e seu diâmetro é constante. Para isto, usamos a completude dos números
reais. Tal constante é precisamente o número Pi. O Capítulo 2 é dedicado ao estudo
da irracionalidade de Pi. Apresentamos três provas, a clássica, devida a Lambert, e
duas provas mais modernas de Cartwright e Ivan Niven. Além de ser irracional, o
número Pi é transcendente, isto é, não existe um polinômio não nulo com coeficientes
racionais que tenha Pi como raiz. Tal fato foi demonstrado inicialmente por Lindemann
e, como consequência, o problema clássico da quadratura do círculo não tem
solução. No capítulo 3, apresentamos, sem prova, um resultado mais geral, o celebrado
Teorema de Lindemann-Weiertrass que tem como corolário, a transcendência
de Pi. Finalmente, no capítulo 4, a cronologia, curiosidades, aproximações e séries
sobre Pi são estudadas.
| Identifer | oai:union.ndltd.org:IBICT/oai:tede.biblioteca.ufpb.br:tede/7508 |
| Date | 15 March 2013 |
| Creators | Dantas, Marcelo Rodrigues Nunes |
| Contributors | Tuesta, Napoleón Caro |
| Publisher | Universidade Federal da Paraíba, Mestrado Profissional em Matemática, UFPB, Brasil, Matemática |
| Source Sets | IBICT Brazilian ETDs |
| Language | Portuguese |
| Detected Language | English |
| Type | info:eu-repo/semantics/publishedVersion, info:eu-repo/semantics/masterThesis |
| Format | application/pdf |
| Source | reponame:Biblioteca Digital de Teses e Dissertações da UFPB, instname:Universidade Federal da Paraíba, instacron:UFPB |
| Rights | info:eu-repo/semantics/openAccess |
| Relation | -7971561403159605022, 600, 600, 600, 600, 6253812151858475815, 8398970785179857790, 2075167498588264571 |
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