Conselho Nacional de Desenvolvimento CientÃfico e TecnolÃgico / CoordenaÃÃo de AperfeiÃoamento de Pessoal de NÃvel Superior / Nessa dissertaÃÃo mostraremos vÃrios critÃrios de irracionalidade Como aplicaÃÃo de um desses critÃrios provaremos que algumas funÃÃes teta falsa de Ramanujan de Watson e as q-sÃries de Rogers-Ramanujan assumem valores irracionais em -1/q e 1/q onde q à um inteiro maior ou igual a 2 Para finalizar provaremos a irracionalidade de Zeta de trÃs / This dissertation show several criterion of irrationality As an application of these criteria prove that some false theta functions of Ramanujan of Watson and q-series of Rogers-Ramanujan of take irrational values in -1/q is 1/q where q is integer most or equal an 2 To end prove the irrationality of zeta three

Submitted by Clebson Anjos (clebson.leandro54@gmail.com) on 2015-05-27T18:31:41Z No. of bitstreams: 1 arquivototal.pdf: 962271 bytes, checksum: 5177cbb2c153281ed3beb4f74b340e5b (MD5) / Approved for entry into archive by Clebson Anjos (clebson.leandro54@gmail.com) on 2015-05-27T18:32:58Z (GMT) No. of bitstreams: 1 arquivototal.pdf: 962271 bytes, checksum: 5177cbb2c153281ed3beb4f74b340e5b (MD5) / Made available in DSpace on 2015-05-27T18:32:58Z (GMT). No. of bitstreams: 1 arquivototal.pdf: 962271 bytes, checksum: 5177cbb2c153281ed3beb4f74b340e5b (MD5) Previous issue date: 2013-03-15 / Coordenação de Aperfeiçoamento de Pessoal de Nível Superior - CAPES / For more than 2500 years, many of the great mathematicians interested in the nature and the mysteries of fascinating number Pi , wonderful minds such that Archimedes, Euler, Gauss, Abel, Jacobi, Weierstrass, among others. In this work we will study some of the fundamental properties that characterize the number Pi. We begin our work, proving that the ratio between the length of an arbitrary circumference and its diameter is constant. For this, we use the completeness of the real numbers. This constant is precisely the number Pi. The chapter 2 is dedicated to he study of the irrationality of Pi. We present three proofs, a classical proof, due to Lambert, and two modern proofs due to Cartwright and Ivan Niven. In addition to be irrational, the number Pi is transcendental, that is, there is not a non zero polynomial in one variable with rational coeficients that has Pi as root. This fact was initially proved by Lindemann and as a consequence, the classical problem of squaring the circle has no solution. In the chapter 3 we present , without proof, a more general result, the celebrated Lindemann-Weierstrass theorem, which has a corollary , the transcendence of Pi. Finally, in the chapter 4, chronology, curiosities, approximations and series on Pi are studied. / Por mais de 2500 anos, muitos dos grandes matemáticos se interessaram na natureza e nos mistérios do fascinante número Pi, mentes brilhantes como Arquimedes, Euler, Gauss, Abel, Jacobi, Weierstrass, entre outros. Neste trabalho, estudaremos algumas das propriedades fundamentais que caracterizam o número Pi. Iniciamos nosso trabalho, provando que a razão entre o comprimento de uma circunferência arbitrária e seu diâmetro é constante. Para isto, usamos a completude dos números reais. Tal constante é precisamente o número Pi. O Capítulo 2 é dedicado ao estudo da irracionalidade de Pi. Apresentamos três provas, a clássica, devida a Lambert, e duas provas mais modernas de Cartwright e Ivan Niven. Além de ser irracional, o número Pi é transcendente, isto é, não existe um polinômio não nulo com coeficientes racionais que tenha Pi como raiz. Tal fato foi demonstrado inicialmente por Lindemann e, como consequência, o problema clássico da quadratura do círculo não tem solução. No capítulo 3, apresentamos, sem prova, um resultado mais geral, o celebrado Teorema de Lindemann-Weiertrass que tem como corolário, a transcendência de Pi. Finalmente, no capítulo 4, a cronologia, curiosidades, aproximações e séries sobre Pi são estudadas.

CoordenaÃÃo de AperfeÃoamento de Pessoal de NÃvel Superior / O pi à um nÃmero de natureza singular, pois muitos homens em diversos momentos histÃricos se detiveram a calculÃ-lo e estudÃ-lo. CÃrculos podem ser vistos em quase todos os lugares, e como consequÃncia, o pi tambÃm. Por estar tÃo presente na realidade, muitos foram os matematicos que se dedicaram ao estudo desse nÃmero e de seu valor numÃrico. Este trabalho, fruto de muita pesquisa, mostrarà muitos dos diversos caminhos que os matemÃticos fizeram para encontrarem uma aproximaÃÃo para pi . Trataremos tambÃm neste trabalho as curiosas descobertas envolvendo este nÃmero, os famosos problemas em torno dele, assim como tambÃm os diversos mÃtodos que foram usados para calculÃ-lo. A busca pelo valor numÃrico de pi levou os matemÃticos a suporem sua irracionalidade, que posteriormente fora provada e tambÃm serà feita aqui. Finalizaremos tratando de como podemos calcular de uma maneira diferenciadana sala de aula. / pi is a number of singular nature because several men in different historical moments lingered themselves to calculate and study it. Circles can be seen in almost all places, and as a consequence, so can pi. Due to being so present in the reality, a huge number of mathematicians devoted themselves to the study of this number and its numerical value. This work, result of much research, will show many of the different ways that the mathematicians took to find an approximation for pi. We will also approach in this work the curious founds involving this number, the famous problems around it as well as the diverse methods which were used to calculate it. The search for the numerical value took the mathematicians to assume its irrationality which was proved afterwards and will be done here. We will finish approaching how we can calculate pi in the classroom in a different way.

Submitted by (lucia.rodrigues@ufrpe.br) on 2017-03-29T14:11:57Z No. of bitstreams: 1 Messias Antonio da Silva.pdf: 2977132 bytes, checksum: a15679b5cedd2062e4385683b350d5f3 (MD5) / Made available in DSpace on 2017-03-29T14:11:57Z (GMT). No. of bitstreams: 1 Messias Antonio da Silva.pdf: 2977132 bytes, checksum: a15679b5cedd2062e4385683b350d5f3 (MD5) Previous issue date: 2015-08-14 / The constant π will be presented in this work since its origin, in length and area problems particularly the problem of squaring a circle -, to the most recent researches on algorithms used for the calculus of its decimal expansion. Using the exhaustion method we calculate the length and area of a circle of radius r. We demonstrate the irrationality of π . We also generalize the constant for π convex, simple and closed curves. At last we suggest some educational activities related to the concepts in study. / A constante π será apresentada desde a sua origem, nos problemas de medidas de comprimento, área, em particular o problema da quadratura do círculo, até as pesquisas mais recentes sobre os algoritmos usados para o cálculo, de sua expansão decimal. Usando o método da exaustão calculamos o comprimento e a área de um círculo de raio r. Mostramos a irracionalidade de π . Apresentamos uma generalização de π para curvas fechadas, simples e convexas. Finalmente, sugerimos algumas atividades didáticas envolvendo os conceitos estudados.

Made available in DSpace on 2014-07-29T15:00:23Z (GMT). No. of bitstreams: 1 Dissertacao Stenio G de Oliveira.pdf: 1227425 bytes, checksum: 972ee38681a58bf0f9ccea1e721ad8e0 (MD5) Previous issue date: 2011-09-16 / A importância e o uso da história e filosofia das Ciências no ensino têm sido defendidos, de maneira enfática, por diferentes autores visando uma educação científica de qualidade. Da mesma forma, evidentemente com diferentes argumentos, outros autores são contrários ao seu uso. Colocando-me do lado dos defensores deste uso, neste trabalho defende-se que o ensino das Ciências e sua aprendizagem precisam ser acompanhados pelo estudo sobre a natureza da Ciência, haja vista que tanto a história como a filosofia das Ciências são importantes para pesquisadores e para professores. O presente estudo busca analisar as visões de dois filósofos da Ciência, Thomas Kuhn e Paul Feyerabend, que apontam importantes perspectivas para a discussão sobre o desenvolvimento científico. Ambos estudam a Revolução Copernicana, e verificam que o desenvolvimento científico nem sempre está condicionado a fatores racionais, ou metodológicos, entendidos como um conjunto de regras a ser seguido ou um conjunto de passos que norteiam a atividade científica. O método utilizado nesta dissertação foi de uma pesquisa bibliográfica, com foco principal na leitura dos livros destes dois autores. Isto é feito em duas partes: a primeira através de uma revisão de suas visões de Ciência e a segunda é uma tentativa pessoal de recortar suas descrições e análises sobre a Revolução Copernicana. Estes recortes têm a intenção de ressaltar, tendo por base os trabalhos de astrônomos como Copérnico e outros posteriores a ele, características, passagens ou influências subjetivas dentro da atividade científica. Subjetividade para Kuhn, irracionalidade para Feyerabend. O que se busca neste trabalho é oferecer subsídios para a discussão clássica de nossa visão de Ciência como sendo sempre racional , metodologicamente rígida, e evidenciar elementos de subjetividades/irracionalidades(?) na atividade científica que devem ser trabalhados e discutidos no ensino de Ciências.

Submitted by Renata Lopes (renatasil82@gmail.com) on 2017-09-27T13:49:03Z No. of bitstreams: 1 marcelodamascenomarangon.pdf: 420801 bytes, checksum: 1541d566ceb0fcd639f11dcc6f27070a (MD5) / Approved for entry into archive by Adriana Oliveira (adriana.oliveira@ufjf.edu.br) on 2017-09-27T15:20:26Z (GMT) No. of bitstreams: 1 marcelodamascenomarangon.pdf: 420801 bytes, checksum: 1541d566ceb0fcd639f11dcc6f27070a (MD5) / Made available in DSpace on 2017-09-27T15:20:26Z (GMT). No. of bitstreams: 1 marcelodamascenomarangon.pdf: 420801 bytes, checksum: 1541d566ceb0fcd639f11dcc6f27070a (MD5) Previous issue date: 2017-06-24 / CAPES - Coordenação de Aperfeiçoamento de Pessoal de Nível Superior / O objetivo principal deste trabalho é contar a origem do número aos alunos do ensino médio, além de exibir alguns métodos de aproximação e curiosidades envolvendo este número irracional. A motivação para a escolha do tema baseou-se no histórico de dificuldades e erros encontrados tantas vezes pelos discentes em sala de aula. Serão tratados métodos de cálculo desde Arquimedes até Ramanujan, passando pelas contribuições de Viète, Wallis, Gregory, Euler e Gauss, todos numa incessante busca pelo mais importante número irracional da matemática. Mostraremos também como a geometria plana e a trigonometria contribuíram na descoberta e investigação desse número, além de sua evolução até os dias de hoje. / This study aims to unveil to the high school students the origin of number , as well as to show some approximation methods and curiosities involving this irrational number. The theme choice was based on history of difficulties and errors found several times by students in the classroom. Will be reviewed calculus methods from Archimedes to Ramanujan, passing through Viète, Wallis, Gregory, Euler, and Gauss contributions, all of them on an unceasing quest for the most important mathematics’ irrational number. We will show also show show plane geometry and trigonometry contributed on discover and investigation of this number, as well as its evolution until today.

Desde o fim da Guerra Fria, os Estados Unidos promoveram a noção da existência de \"Rogue States\", denominando-os \"novos inimigos\". No entanto, o termo confere muitas controvérsias em torno de sua definição, principalmente dos critérios que conferem o rótulo a tais atores. A irracionalidade na tomada de decisões e a busca pela aquisição de armas nucleares se apresentam como características fundamentais. Através da análise dos discursos americanos sobre rogue states, e sob a perspectiva construtivista, podemos depreender que o discurso foi utilizado como forma de corroborar as ações norte-americanas em relação a estes países, ao mesmo tempo em que moldavam as próprias estratégias americanas, uma vez que os atos de fala conferem uma ação em si. As ações tomadas diante de uma situação são definidas a partir da percepção deste fato e do significado que o ator dará a ele. Assim, o apontamento de certos países como sendo Rogue States pelos Estados Unidos serviu para distinguir entre os países do Sistema Internacional \"aqueles que deveriam ser combatidos\". Alguns críticos do termo afirmam que o critério de racionalidade aplicado a estados como Coreia do Norte e Irã é muito mais rigoroso que aquele aplicado aos demais estados, mesmo a USSR durante a Guerra Fria. O presente trabalho pretende avaliar o surgimento do termo rogue state e sua utilização pelo governo norte-americano como política oficial. Através de dois artigos, busca-se entender a construção do conceito de rogue state, levando-se em consideração as teorias construtivistas, principalmente dos teóricos da chamada virada linguística. Uma vez que o debate da irracionalidade está diretamente ligado a busca pela obtenção de armas nucleares - critério-chave para o apontamento como rogue-, pretende-se também avaliar as suposições para tal classificação através da investigação dos programas nucleares dos dois países na atualidade que estão no centro do debate nuclear- Irã e Coreia do Norte. / Since the end of the Cold War, the United States promoted the notion of the existence of \"Rogue States\", designating them as \"new enemies\". However, the term presents many controversies surrounding its definition, especially about the criteria that confer the label to such actors. The irrationality in decision-making and the pursuit of nuclear weapons are presented as the core characteristics of the concept. Through the analysis of American discourses on rogue states, and under the constructivist perspective, one can infer that the speech was used as a way of corroborating the U.S. actions towards these countries, while that shaped the American strategies themselves, once the speech acts are an action itself. Actions taken towards a situation are defined according to the perceptions and meaning the actor will give to it. Thus, the indication of certain countries as Rogue States by the United States served to distinguish among the countries of International System \"those who should be fought\". Some critics of the term argue that the criterion of rationality applied to states like North Korea and Iran is much more rigorous than the one applied to other states, even the USSR during the Cold War. This work intends to evaluate the emergence of the term rogue state and its use by the U.S. government as an official policy. Through two articles, we seek to understand the construction of the rogue state concept, taking into account the constructivist theories, especially the theory of so-called linguistic turn. Since the discussion of irrationality is directly linked to the search for acquiring nuclear weapons - key characteristic of a rogue-, it also intends to evaluate the assumptions for such classification by investigating the nuclear programs of both countries currently at the center of the nuclear debate -Iran and North Korea.

Made available in DSpace on 2016-04-25T19:20:32Z (GMT). No. of bitstreams: 1 Jose Altran.pdf: 1835681 bytes, checksum: 676cdf4ba6912928ccee8a5a2f3d586b (MD5) Previous issue date: 2014-09-12 / The dissertation suggests that an epistemology that listen to irrationality is relevant to face perennial obstacles in the philosophy of science, against which many objects collide. This seems to be an especially useful alternative in the sciences of religion, where we see ourselves immobilized by rationality when engaging researches that are related to their typically unspeakable phenomena. The mystical experience, often taken as the basis of religion, is a scenario that often brings amid its ineffability a sense of univocity - which is, precisely, the horizon of academic making. Would this ineffable hold an episteme? Following the publications of Marcelo Dascal, Henri Bergson and others, it is argued that, overcoming asymmetric impositions of epistemic legitimacy that inhibit controversies, we could find in bergsonian intuitionism a way toward these subjects as elusive as dangerous, since they put the rationality as a functional pillar for science and irrationality as a metaphysical pillar to reality itself. The transformations that the mystics brought to the world throughout history could be taken as signs that not only the irrationality was their compass, but also that it can bring extremely desirable outcomes for humanity, althought impelled by unspeakable epiphanies. Our aim is to gradually create lucid foundations for the study of alleged mystical univocities that invariably would become relative under the eyes of reason / A dissertação sugere que uma epistemologia que dê ouvidos à irracionalidade é pertinente para enfrentarmos entraves perenes na filosofia da ciência, frente aos quais muitos objetos colidem. Esta parece uma alternativa especialmente útil nas ciências da religião, onde nos vemos imobilizados pela racionalidade ao nos engajarmos em pesquisas que guardam relação com seus fenômenos tipicamente indizíveis. A experiência mística, tantas vezes tida como base das religiões, é cenário que frequentemente traz em meio à sua inefabilidade uma sensação de univocidade - justamente o horizonte do fazer acadêmico. Moraria neste inefável uma episteme? Por meio de Marcelo Dascal, Henri Bergson e outros, argumenta-se que, superadas imposições assimétricas de legitimidade epistêmica que inibem controvérsias, poderíamos encontrar no intuicionismo bergsoniano um caminho a seguir frente a esses assuntos tão fugidios quanto delicados, uma vez que coloca a racionalidade como pilar funcional para a ciência, e a irracionalidade como pilar metafísico para a realidade em si. As transformações que os místicos trouxeram ao mundo ao longo da história servem como indício de que não só foi a irracionalidade sua diretriz, como que ela pode trazer resultados objetivos e extremamente desejáveis para a humanidade, mesmo impelidas por epifanias indizíveis. Pretende-se, assim, aos poucos, criar fundamentos lúcidos para o estudo de supostas univocidades místicas que invariavelmente se tornariam relativas sob o domínio da razão

Desde o fim da Guerra Fria, os Estados Unidos promoveram a noção da existência de \"Rogue States\", denominando-os \"novos inimigos\". No entanto, o termo confere muitas controvérsias em torno de sua definição, principalmente dos critérios que conferem o rótulo a tais atores. A irracionalidade na tomada de decisões e a busca pela aquisição de armas nucleares se apresentam como características fundamentais. Através da análise dos discursos americanos sobre rogue states, e sob a perspectiva construtivista, podemos depreender que o discurso foi utilizado como forma de corroborar as ações norte-americanas em relação a estes países, ao mesmo tempo em que moldavam as próprias estratégias americanas, uma vez que os atos de fala conferem uma ação em si. As ações tomadas diante de uma situação são definidas a partir da percepção deste fato e do significado que o ator dará a ele. Assim, o apontamento de certos países como sendo Rogue States pelos Estados Unidos serviu para distinguir entre os países do Sistema Internacional \"aqueles que deveriam ser combatidos\". Alguns críticos do termo afirmam que o critério de racionalidade aplicado a estados como Coreia do Norte e Irã é muito mais rigoroso que aquele aplicado aos demais estados, mesmo a USSR durante a Guerra Fria. O presente trabalho pretende avaliar o surgimento do termo rogue state e sua utilização pelo governo norte-americano como política oficial. Através de dois artigos, busca-se entender a construção do conceito de rogue state, levando-se em consideração as teorias construtivistas, principalmente dos teóricos da chamada virada linguística. Uma vez que o debate da irracionalidade está diretamente ligado a busca pela obtenção de armas nucleares - critério-chave para o apontamento como rogue-, pretende-se também avaliar as suposições para tal classificação através da investigação dos programas nucleares dos dois países na atualidade que estão no centro do debate nuclear- Irã e Coreia do Norte. / Since the end of the Cold War, the United States promoted the notion of the existence of \"Rogue States\", designating them as \"new enemies\". However, the term presents many controversies surrounding its definition, especially about the criteria that confer the label to such actors. The irrationality in decision-making and the pursuit of nuclear weapons are presented as the core characteristics of the concept. Through the analysis of American discourses on rogue states, and under the constructivist perspective, one can infer that the speech was used as a way of corroborating the U.S. actions towards these countries, while that shaped the American strategies themselves, once the speech acts are an action itself. Actions taken towards a situation are defined according to the perceptions and meaning the actor will give to it. Thus, the indication of certain countries as Rogue States by the United States served to distinguish among the countries of International System \"those who should be fought\". Some critics of the term argue that the criterion of rationality applied to states like North Korea and Iran is much more rigorous than the one applied to other states, even the USSR during the Cold War. This work intends to evaluate the emergence of the term rogue state and its use by the U.S. government as an official policy. Through two articles, we seek to understand the construction of the rogue state concept, taking into account the constructivist theories, especially the theory of so-called linguistic turn. Since the discussion of irrationality is directly linked to the search for acquiring nuclear weapons - key characteristic of a rogue-, it also intends to evaluate the assumptions for such classification by investigating the nuclear programs of both countries currently at the center of the nuclear debate -Iran and North Korea.

Submitted by Luciana Ferreira (lucgeral@gmail.com) on 2014-11-21T14:25:51Z No. of bitstreams: 2 Dissertação - Túlio Guimarães Marques - 2013.pdf: 3490137 bytes, checksum: a39789fad1b421e22443faee08545072 (MD5) license_rdf: 23148 bytes, checksum: 9da0b6dfac957114c6a7714714b86306 (MD5) / Approved for entry into archive by Luciana Ferreira (lucgeral@gmail.com) on 2014-11-24T10:17:57Z (GMT) No. of bitstreams: 2 Dissertação - Túlio Guimarães Marques - 2013.pdf: 3490137 bytes, checksum: a39789fad1b421e22443faee08545072 (MD5) license_rdf: 23148 bytes, checksum: 9da0b6dfac957114c6a7714714b86306 (MD5) / Made available in DSpace on 2014-11-24T10:17:57Z (GMT). No. of bitstreams: 2 Dissertação - Túlio Guimarães Marques - 2013.pdf: 3490137 bytes, checksum: a39789fad1b421e22443faee08545072 (MD5) license_rdf: 23148 bytes, checksum: 9da0b6dfac957114c6a7714714b86306 (MD5) Previous issue date: 2013-03-01 / Outras / This paper aims at introducing the science which is behind the most intriguing number known to history, the number . It has challenged generations of researchers who have tried to determine its value and articulate several areas of Mathematics such as Geometry, Algebra and Analysis. The quotient of ratio between the measure of the length of a circumference and the measure of its diameter are what de ne . Some historical references such as Archimedes, Euler, Leibniz and Lindemann have signi cantly contributed with the methods to precise . The rst real academic approach to this ratio was studied by the greatest mathematician of antiquity, Archimedes, when he created an instructive process for the study of the limits. With the unsolvable problem of the quadrature of the circle, ingenious geometrical constructions are born, in order to allow the drawing, with a ruler and compass, of a square having the same area as a previous given circle. The evolution of the forms employed in order to calculate have become more evident with the introduction of Analysis applied under the foundations of Calculus. At that time, the Series come to life, indispensable tools allowing the study of the behaviour of its decimal places. Along with the advances brought by them, the investigations turned towards the classi cation concerning the rationality or the irrationality of the number. In the end, we will present some contextualization and propose exercises with the aim of stimulating the search for knowledge. / O trabalho a seguir apresenta a ciência por trás do número mais intrigante da história, o número . Ele tem desa ado gerações de pesquisadores a determinar o seu valor e articular as várias áreas da matemática, como a Geometria, a Álgebra e a Análise. O quociente da razão entre a medida do comprimento de uma circunferência e a medida de seu diâmetro de ne . Algumas referências históricas, entre eles, Arquimedes, Euler, Leibniz e Lindemann, contribuíram signi cantemente nos métodos para precisar . A primeira abordagem realmente acadêmica dessa razão foi estudada pelo maior matemático da antiguidade, Arquimedes, quando ele criou um processo instrutivo no estudo dos limites. Com o insolúvel problema da quadratura do círculo, surgem construções geométricas engenhosas na tentativa de desenhar, com régua e compasso, um quadrado de mesma área de um círculo dado. A evolução das formas utilizadas para o cálculo do tornou-se mais evidente com a introdução da Análise aplicada nos fundamentos do Cálculo. Neste momento, surgem as Séries, ferramentas indispensáveis para estudar o comportamento de suas casas decimais. Com os avanços obtidos por estas, as investigações voltaram-se para classi cação quanto a racionalidade ou irracionalidade do número . Inicialmente a irracionalidade foi provada e mais tarde sua transcendência. Por m, são apresentadas algumas contextualizações e propostas de exercícios com a tentativa de estimular a busca por conhecimento.