Le présent travail porte sur la classification de structures arborescentes selon leurs symétries. Plus précisément, il fait l'objet de celle des arbres plans, des 2-arbres k-gonaux
exterplanaires, des 2-arbres k-gonaux sans sommets de degré 4 et des 2-arbres polygonaux exterplanaires. Ceci est fait en déterminant le développement moléculaire de ceux-ci vus comme espèces de structures. Le développement moléculaire des arbres plans est obtenu à l'aide du théorème de dissymétrie des arbres R-enrichis (voir Bergeron,
Labelle et Leroux, 1994) et par l'utilisation d'une formule d'addition pour Ck(B) où B est une espèce et Ck est l'espèce des cycles orientés de longueur k. Cette formule
se trouve dans (Ducharme, 2005). En généralisant cette formule au cas où B est pondérée, nous obtenons le développement moléculaire des arbres plans pondérés par la distribution des degrés de leurs sommets. En ce qui a trait aux 2-arbres k-gonaux exterplanaires, une telle classification pour k = 3 a été faite dans (Labelle, Lamathe et Leroux, 2003; Lamathe 2003) et pour k = 4,5 dans (Ducharme, 2005) en utilisant des formules d'addition d'espèces auxiliaires exprimant des espèces pointées qui, à l'aide d'un théorème de dissymétrie, peuvent exprimer les espèces des 2-arbres k-gonaux exterplanaires. Le seul résultat manquant dans (Ducharme, 2005), pour obtenir le développement moléculaire des 2-arbres k-gonaux exterplanaires, est celui des 2-arbres
k-gonaux exterplanaires pointés en un polygone. Celui-ci est obtenu par l'énumération de classes diédrales de mots dont les lettres représentent chacune un type d'isomorphie de 2-arbres k-gonaux exterplanaires pointés en une arête orientée. C'est aussi par l'énumération de classes diédrales que nous obtenons une nouvelle formule d'addition de Pn donnant le développement moléculaire de Pn(B) en fonction de celui
des puissances de l'espèce B où Pn est l'espèce des polygones de taille n (cycles non orientés de longueur n). Les espèces apparaissant dans cette formule sont de la forme Pbic 2i (N, M, L) ou Cj(K) où K, L, M et N sont des espèces moléculaires, i|k, j|k et Pbic 2i (X, Y, Z) est une espèce moléculaire de polygones bicolorés. Nous donnons également une condition pour déterminer si Pbic 2i (N₁, M₁, L₁) et Pbic 2j (N₂, M₂, L₂) sont isomorphes dans le cas où N₁, M₁, L₁, N₂, M₂ et L₂ sont des espèces asymétriques. Comme le développement moléculaire des différentes espèces pointées de 2-arbres k-gonaux exterplanaires ne font appel qu'à des espèces asymétriques et aux espèces Ci et Pbic 2i(X, Y, Z) dans lesquelles on a substitué des espèces asymétriques, on peut facilement regrouper les termes semblables pour obtenir le développement moléculaire des 2-arbres k-gonaux exterplanaires. Les coefficients de ce développement moléculaire sont exprimés en fonction de ceux des puissances entières de l'espèce des 2-arbres k-gonaux exterplanaires pointés en une arête orientée. Ces derniers coefficients sont obtenus par inversion de Lagrange. Pour le cas des 2-arbres k-gonaux sans sommets de degré 4, nous faisons une distinction entre les types dont le groupe d'isomorphismes d'ordre 2 est généré par une rotation non trivial et ceux dont le groupe est généré par une réfexion. Ceux-ci sont isomorphes à NE₂ (M) mais seront respectivement associés à l'espèce NC₂ (M) et à l'espèce Pbic 2 (N, M, 1). En plus, seules certaines classes diédrales
de mots, dont les lettres représentent chacune un type d'isomorphie de 2-arbres k-gonaux sans sommets de degré 4 pointés en une arête externe orientée dont les sommets
sont de degré 2, représentent un type de 2-arbres k-gonaux sans sommets de degré 4. Les coefficients du développement moléculaire des 2-arbres k-gonaux sans sommets de degré 4 sont ensuite exprimés en fonction des coefficients de celui de puissances d'espèces asymétriques obtenus encore par inversion de Lagrange. Le cas des 2-arbres polygonaux exterplanaires est très similaire au cas des 2-arbres k-gonaux exterplanaires où k est pair. L'étiquetage est effectué aux sommets plutôt qu'aux polygones, ce qui occasionne des changements mineurs aux définitions des classes diédrales à énumérer. Les espèces moléculaires de leur développement moléculaire peuvent encore être décrites à l'aide d'espèces asymétriques et de Ci et Pbic 2j (X, Y, Z) où i et j sont des entiers. ______________________________________________________________________________ MOTS-CLÉS DE L’AUTEUR : Arboresence, 2-arbres, Exterplanaire, Moléculaire, Développement.
| Identifer | oai:union.ndltd.org:LACETR/oai:collectionscanada.gc.ca:QMUQ.2354 |
| Date | January 2009 |
| Creators | Ducharme, Martin |
| Source Sets | Library and Archives Canada ETDs Repository / Centre d'archives des thèses électroniques de Bibliothèque et Archives Canada |
| Detected Language | French |
| Type | Thèse acceptée, NonPeerReviewed |
| Format | application/pdf |
| Relation | http://www.archipel.uqam.ca/2354/ |
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