Tableau d'honneur de la Faculté des études supérieures et postdoctorales, 2006-2007 / Soit sq(n) la somme des chiffres d'un entier positif n dans l'écriture en base q. On dit que n est un g-nombre de Niven ou un nombre de Niven en base q si sq(n)\n. On pose Nq(x) comme le nombre de g-nombres de Niven inférieurs à x. Au chapitre 1, on prouve les propriétés de la cardinalité de l'ensemble {n < x : sq(n) = t} qui seront nécessaires aux démonstrations des résultats principaux des chapitres ultérieurs. Il s'agit d'une synthèse de résultats bien connus présentés avec de nouvelles preuves élémentaires. Au chapitre 2, on démontre quelques résultats élémentaires à propos de la fonction Nq(x) et au chapitre 3, on établit une formule asymptotique pour la valeur de la fonction Nq(x), soit en démontrant qu'il existe une constante positive X) = rj(q) telle que Nq(x) = (1 + o{l))r}-^-^ lorsque x —> oo. La fonction rj(q) fait l'objet d'une étude approfondie au chapitre 4. On définit également Nq^r(x) comme le nombre d'entiers positifs n inférieurs à x tels que n, n + 1,... ,n + r — 1 sont tous des nombres de g-Niven. Grundman [14] a démontré que valeur maximale de r pour laquelle Nq:r(x) est strictement positif est r = 2q. Au chapitre 5, on établit une formule asymptotique pour la valeur de Nq^r(x) soit en démontrant que, pour chaque r G [2, 2q], il existe une constante positive C\ — c\{q,r) telle que NqiT(x) = (1 + o(l))^|f|f lorsque x -> oo. / Let sq(n) stand for the sum of the digits of a positive integer n written in base q. We say that n is a ç-Niven number or a Niven number in base q if sq(n) divides n. Let Nq(x) stand for the number of g-Niven numbers less than x. In chapter 1, we présent the various proprieties of the size of the set {n < x : sq(n) = t} that will be needed in the proofs of the main results of the following chapters. It is a collection of well-known results given with original elementary proofs. In chapter 2, we establish elementary results about the behaviour of the Nq(x) function and in chapter 3, we prove the asymptoptic value of Nq(x) to be Nq(x) = (1 + o(l))r]^— for some positive constant r\ = r](q) as x —> oo. The r)(q) function is extensively studied in chapter 4. Furthermore, we let NqtT(x) be the number of integers n less than x such that n,n + 1,..., n + r — 1 are ail ç-Niven numbers. The maximal value of r for which Nq^r(x) is nonzero is known to be r = 2q. In chapter 5, we establish the asymptotic value of JVrg(a;) for every r G [2,2g] namely by proving that there exists a positive constant cx - cx(q,r) such that Nq,r{x) = (1 + o(l))ci(g,r)(lojfx)
| Identifer | oai:union.ndltd.org:LAVAL/oai:corpus.ulaval.ca:20.500.11794/18473 |
| Date | 11 April 2018 |
| Creators | Doyon, Nicolas |
| Contributors | De Koninck, Jean-Marie |
| Source Sets | Université Laval |
| Language | French |
| Detected Language | French |
| Type | thèse de doctorat, COAR1_1::Texte::Thèse::Thèse de doctorat |
| Format | 79 f., application/pdf |
| Rights | http://purl.org/coar/access_right/c_abf2 |
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