Tableau d'honneur de la Faculté des études supérieures et postdoctorales, 2006-2007 / L'identification du gène responsable d'une maladie peut être facilitée par des méthodes statistiques telles que des études d'association basées sur le déséquilibre de liaison. Différentes stratégies d'analyse sont possibles pour ce type d'étude. Comme pour les tests d'association classiques, un devis d'échantillonnage de cas-témoins peut être utilisé. Un deuxième devis possible est l'échantillonnage de trios. On peut également choisir d'étudier l'association allélique ou haplotypique des marqueurs génétiques sélectionn és. La présente étude vise à comparer par voie de simulation la puissance de tests de déséquilibre de liaison selon la stratégie d'analyse choisie. Dans un premier temps, on s'est intéressé à la comparaison des devis d'échantillonnage cas-témoins et trios ; dans un deuxième temps, on a comparé les approches allélique et haplotypique.

Étant donné des paires de variables aléatoires dont les valeurs ont été dichotomisées, le coefficient de corrélation tétrachorique approxime la corrélation de Pearson sous l'hypothèse que la loi conjointe des observations est gaussienne. Pour vérifier la nécessité de cette hypothèse, Gréer et al. (2003) ont étudié la robustesse du coefficient tétrachorique en supposant que la structure de dépendance des observations est normale mais que leurs marges ne le sont pas. Ce mémoire complète ces travaux en proposant une évaluation de plusieurs approximations du coefficient tétrachorique dans le cas où les lois marginales des variables sont normales mais leur structure de dépendance n'est pas gaussienne. Le biais et l'erreur quadratique moyenne de ces estimations sont mesurés par voie de simulation sous différents modèles de copules.

Tableau d'honneur de la Faculté des études supérieures et postdoctorales, 2006-2007 / Soit sq(n) la somme des chiffres d'un entier positif n dans l'écriture en base q. On dit que n est un g-nombre de Niven ou un nombre de Niven en base q si sq(n)\n. On pose Nq(x) comme le nombre de g-nombres de Niven inférieurs à x. Au chapitre 1, on prouve les propriétés de la cardinalité de l'ensemble {n < x : sq(n) = t} qui seront nécessaires aux démonstrations des résultats principaux des chapitres ultérieurs. Il s'agit d'une synthèse de résultats bien connus présentés avec de nouvelles preuves élémentaires. Au chapitre 2, on démontre quelques résultats élémentaires à propos de la fonction Nq(x) et au chapitre 3, on établit une formule asymptotique pour la valeur de la fonction Nq(x), soit en démontrant qu'il existe une constante positive X) = rj(q) telle que Nq(x) = (1 + o{l))r}-^-^ lorsque x —> oo. La fonction rj(q) fait l'objet d'une étude approfondie au chapitre 4. On définit également Nq^r(x) comme le nombre d'entiers positifs n inférieurs à x tels que n, n + 1,... ,n + r — 1 sont tous des nombres de g-Niven. Grundman [14] a démontré que valeur maximale de r pour laquelle Nq:r(x) est strictement positif est r = 2q. Au chapitre 5, on établit une formule asymptotique pour la valeur de Nq^r(x) soit en démontrant que, pour chaque r G [2, 2q], il existe une constante positive C\ — c\{q,r) telle que NqiT(x) = (1 + o(l))^|f|f lorsque x -> oo. / Let sq(n) stand for the sum of the digits of a positive integer n written in base q. We say that n is a ç-Niven number or a Niven number in base q if sq(n) divides n. Let Nq(x) stand for the number of g-Niven numbers less than x. In chapter 1, we présent the various proprieties of the size of the set {n < x : sq(n) = t} that will be needed in the proofs of the main results of the following chapters. It is a collection of well-known results given with original elementary proofs. In chapter 2, we establish elementary results about the behaviour of the Nq(x) function and in chapter 3, we prove the asymptoptic value of Nq(x) to be Nq(x) = (1 + o(l))r]^— for some positive constant r\ = r](q) as x —> oo. The r)(q) function is extensively studied in chapter 4. Furthermore, we let NqtT(x) be the number of integers n less than x such that n,n + 1,..., n + r — 1 are ail ç-Niven numbers. The maximal value of r for which Nq^r(x) is nonzero is known to be r = 2q. In chapter 5, we establish the asymptotic value of JVrg(a;) for every r G [2,2g] namely by proving that there exists a positive constant cx - cx(q,r) such that Nq,r{x) = (1 + o(l))ci(g,r)(lojfx)

Lorsqu'on s'intéresse aux processus lents dans l'océan et dans l'atmosphère, il est important de calculer avec une grande précision les modes lents de Rossby. Dans cette thèse, la méthode semi-lagrangienne est combinée à la méthode des éléments finis pour simuler les ondes de Rossby lentes en modélisation océanographique. Ces ondes sont modélisées par les équations hyperboliques de Saint-Venant, étudié dans cette thèse, et obtenue à partir des équations de Navier Stokes. L'application de la méthode semi-lagrangienne conduit à un problème d'interpolation. Dans cette thèse, nous construisons des schémas d'interpolation d'ordre élevé pour traiter les opérateurs d'advection. Pour pouvoir obtenir de tels schémas, nous avons choisi de faire appel aux éléments finis de classe C1 . Nous nous limitons à l'élément fini de Bell et à la famille d'éléments finis de Hseih-Clough-Tocher, réduit et complet. Des tests numériques sont effectués pour l'équation d'advection linéaire bidimensionelle afin de mesurer le gain apporté par les interpolants C1 . Différentes approches sont proposées pour réinterpoler au pied d'une caractéristique. Une étude théorique de l'analyse de la stabilité et de la précision de ces approches est faite dans le cas de l'équation de transport unidimensionelle. Une comparaison des différentes méthodes de calcul au pied des caractéristiques est également faite à travers des essais numériques. Après avoir validé la construction des interpolants C1 et les différentes approches de remontée des caractéristiques sur des problèmes linéaires simples, nous nous attaquons aux cas non linéaires. Cette fois-ci les domaines de calcul sont complexes et réalistes, le golfe du Mexique en est une illustration. Nous avons choisi deux types d'éléments finis pour résoudre les équa tions de Saint-Venant non linéaires : les paires d'éléments finis P2 — -Pi1 et P1nc — P1. Des simulations numériques faites avec ces deux types d'approximation permettent de bien représenter les ondes de Rossby à un coût de calcul relativement faible et sans l'emploi de la viscosité artificielle.

Le but principal de cet ouvrage consiste à présenter la notion de capacité et ses propriétés fondamentales en théorie du potentiel. Pour y arriver, nous définirons d'abord le potentiel et l'énergie engendrés par un noyau quelconque, et nous en démontrerons certaines propriétés. En particulier, nous nous intéresserons aux noyaux de M. Riesz pour pouvoir définir la notion de a-potentiel et de a-énergie, ce qui nous amène à la définition de la a-capacité et celle de la capacité logarithmique. Parallèlement à cela nous ferons l'étude de la capacité dans les espaces Cv et ceux de Besov. Finalement, comme une application, nous démontrerons l'inégalité de type fort pour la capacité dans les espaces de Besov.

L'intervalle de confiance le plus connu pour une différence de deux proportions est l'intervalle de Wald. Cet intervalle a l'avantage d'être simple à construire, mais il est anti-conservateur. Il existe plusieurs intervalles alternatifs à l'intervalle deWald qui performent beaucoup mieux. Dans ce mémoire, on s'intéressera particulièrement à l'intervalle d'Agresti-Coull et à l'intervalle bayésien approximatif. Ces intervalles performent très bien tout en étant simples à construire. On regardera d'abord la performance de ces intervalles lorsqu'on a deux échantillons indépendants de tailles fixées au départ. On regardera aussi leur performance lorsque le nombre d'observations dépend des vraies proportions, soit dans une expérience à étapes multiples, soit dans une expérience à allocations séquentielles ou un plan adaptatif est utilisé.

Malgré de nombreux travaux sur le sujet, la résolution des problèmes de contact constitue encore un défi pour le numéricien. Il existe deux types de problèmes de contact : soit le contact unilatéral et le contact frottant. Dans cette thèse, nous allons uniquement considérer le contact unilatéral. De plus, nous allons nous limiter au cas de l'élasticité linéaire. Malgré ces hypothèses, les principales difficultés du problème en grandes déformations y sont présentes. La difficulté majeure provient de la non différentiabilité engendrée par la contrainte d'inéquation du contact. Plusieurs auteurs utilisent des méthodes de régularisation afin d'obtenir un problème différentiable soluble par l'algorithme de Newton. Nous croyons que cette stratégie pose problème et qu'il est préférable de traiter le problème directement à partir de l'inéquation variationnelle. Dans la thèse, nous allons proposer plusieurs stratégies de résolution par éléments finis du problème de contact unilatéral. Tous les algorithmes sont basés sur les méthodes puissantes et efficaces de l'optimisation convexe. En premier lieu, on propose un algorithme de type gradient conjugué avec projection sur le cône positif. Cet algorithme baptisé GCP, s'est révélé fort efficace dans le cas du contact entre un solide déformable et une fondation rigide. On propose aussi un algorithme ALG3 basé sur une formulation à trois champs du problème de contact résolu par la méthode du Lagrangien Augmenté. Finalement on propose un algorithme ALGCP qui combine à la fois l'approche du Lagrangien Augmenté ainsi que la méthode du Gradient Conjugué Projeté (GCP). Les résultats numériques montreront la supériorité de ALG3 pour les problèmes de contact unilatéral à plusieurs corps.

Tableau d'honneur de la Faculté des études supérieures et postdoctorales, 2005-2006 / Les équations en eaux peu profondes, encore appelées équations de Saint-Venant, sont utilisées dans de nombreux cas importants comme les fleuves, les lacs, les estuaires et les océans. La conservation de certaines quantités est une propriété importante qui est habituellement désirée pour assurer la précision des simulations à long terme et également pour le cas des écoulements complexes avec présence d'ondes de choc. Cette thèse examine tout d'abord la formulation de schémas semi-Lagrangiens, qui sont bien connus pour demeurer stables pour des nombres très élevés de CFL. Cependant, ces schémas perdent leur propriété de stabilité lorsque la conservation totale des quantités, qui est cruciale pour une simulation correcte les ondes de chocs, est imposée. Un schéma semi- Lagrangien entièrement conservatif est développé ici et ce dernier demeure stable pour des nombres élevés de CFL. L'approche proposée est ensuite étendue à la méthode des caractéristiques (MOC) et une version conservative du schéma MOC est développée. Contrairement au schéma MOC original, qui ne peut pas simuler correctement les ondes de choc à cause du manque de conservation, le schéma proposé les simule avec succès. De plus, le nouveau schéma présente des avantages sur le plan numérique, tant pour la diffusion et la dispersion que pour la stabilité. Le cas 2D est ensuite considéré, et la méthode de volume finie est utilisée à cause de son conservation inhérente. Le cas 2D est ensuite considéré, et la méthode de volumes finis est utilisée à cause de ses qualités inhérentes de conservation. La plupart des méthodes numériques disponibles sont sensibles au problème du déséquilibre entre les termes source et de flux, particulièrement en présence d'un maillage non structuré. D'autre part, la plupart des schémas numériques disponibles (par exemple les schémas HLL et ENO) induisent un niveau élevé de diffusion numérique en simulant des écoulements tourbillonnaires. Trois approches différentes, applicables sur des maillages non structurés sont développées ici. Elles peuvent simuler des conditions complexes d'écoulement comprenant les topographies variables, les écoulements tourbillonnaires, trans-critiques et discontinus. Finalement plusieurs méthodes de volumes finis upwind sont utilisées, via une analyse de type Fourier, pour évaluer le niveau d`amortissement des modes de Rossby. Contrairement aux bons résultats habituellement obtenus par les méthodes de volumes finis upwind dans iii le cas d'écoulements dominés par la convection, on remarque ici que les ondes de Rossby sont amorties de manière excessive. / Shallow water equations arise in many important cases such as in rivers, lakes, estuaries and oceans. Conservation is an important property which is usually desired to ensure the accuracy of the long term simulations and also for the case of complex flows with shockwaves. This thesis begins with semi-Lagrangian schemes, which are well known to remain stable for very high CFL numbers. However, they lose their high stability property when the fully conservative property, which is crucial for a correct simulation of shock waves, is imposed. An inherently fully conservative semi-Lagrangian scheme is developed here which remains stable for high CFL numbers. The proposed approach is then extended to the method of characteristics (MOC) and a conservative extension of MOC is developed. Contrary to the original MOC, which is unable to simulate shockwaves due to the lack of conservation, the proposed scheme easily simulates them. Further, the new scheme presents favorable features in terms of numerical diffusion and dispersion. The 2D case is then considered, and the finite volume method is employed due to its inherent conservation properties. Most available numerical methods face the problem of imbalance between the source and flux terms, particularly when unstructured grids are used. On the other hand, most available numerical schemes (such as the HLL and the ENO schemes) induce a high level of numerical diffusion in simulating recirculating flows. Three different approaches using unstructured grids are successfully developed here. The new schemes can simulate complex flow conditions including recirculating, trans-critical and discontinuous flows over variable topographies. Finally, the performance of the upwind finite volume schemes, for Rossby waves, is studied using a Fourier analysis approach. Contrary to the usual good results obtained for those schemes in the case of convection dominated flows, it is observed here that they lead to an excessive damping of the Rossby modes.

Dans ce document, nous examinons la performance de l'estimation par la méthode bayésienne et celle par la méthode de vraisemblance. En premier lieu, on s'intéresse au cas où la base de données est complète pour estimer un modèle dichotomique par l'approche du maximum de vraisemblance et qui sera comparée à l'estimation du modèle par l'approche bayésienne ; dans ce dernier cas, on utilise la méthode d'échantillonnage de Gibbs. En deuxième lieu, on étudie l'impact du mécanisme de données manquantes ainsi que l'étude des cas complets sur l'estimation des paramètres du modèle. En outre, on utilise les modèles MCAR, MAR et NMAR. Nous illustrons ces méthodes d'estimation à l'aide des données simulées, ainsi qu'avec des données réelles portant sur la décision d'emploi ou de travail chez les jeunes.

Les guides d'ondes optiques sont utilisés dans plusieurs dispositifs de télécommunications pour le transport d'informations numériques. Nous les retrouvons aussi dans les équipements médicaux ou d'ingénierie, comme par exemple les coupleurs, les interféromètres optiques, les convertisseurs de polarisation, etc. Le transport des informations dans ces structures demeure une question capitale et donc les méthodes utilisées doivent être capables de véhiculer ces informations avec un minimum de perte. Dans cette thèse, nous présentons une méthode numérique d'approximation qui permet la simulation du transport des ondes dans une direction choisie avec le maximum de précision et à un coût abordable. Cette méthode est basée sur une approximation au sens de Padé d'opérateurs pseudo-différentiels associés à la fonction algébrique y/1 — x . Essentiellement, nous approchons une équation différentielle ordinaire (EDO) d'ordre 2 par une EDO d'ordre 1 dont les solutions ont la même phase que celle des solutions de l'EDO d'ordre 2 qui se propagent dans la direction choisie. Nous avons évalué les capacités de cette méthode sur de nombreux problèmes bidimensionnels et tridimensionnels. Elle s'est révélée à la fois robuste et précise