Dans ce mémoire on s’intéresse à la résolution des équations de Saint-Venant par la méthode des éléments finis. Différents tests sont simulés en utilisant dix paires d’éléments finis. Lorsque les résultats des analyses de dispersion existent, on les a comparés aux résultats des simulations numériques. On présente également une stratégie d’adaptation de maillage appliquée à des problèemes instationnaires. / This work deals with the resolution of the shallow water equations using the finite element method. Different test cases are simulated by employing ten finite element pairs. When the theoretical results of dispersion relation analysis are available, they are compared with the results of numerical simulations. Finally, we expose an adaptative mesh strategy for the solution of evolution problems.

Les équations de Saint-Venant sont un système aux dérivées partielles jouant un rôle central dans la modélisation des écoulements océaniques. La méthode des éléments finis est particulièrement adaptée pour résoudre les équations de Saint-Venant car elle offre une grande flexibilité sur les domaines irréguliers ainsi qu’une variété d’espaces pour l’approximation de la solution. Or, la qualité de la solution numérique dépend de l’interaction entre ces espaces. Pour certaines combinaisons ou paires d’élément finis la solution numérique peut présenter des oscillations articiellement introduites par la discrétisation. Cette thèse porte sur le comportement numérique des solutions aux équations de Saint-Venant obtenues par différentes paires d’éléments finis. Tout d’abord, une étude sur la dispersion des ondes d’inertie-gravité est présentée pour une sélection de neuf paires d’éléments finis. Un ensemble de trois propriétés est ensuite mis en évidence afin que la discrétisation respecte le comportement des équations analytiques. Une méthode basée sur le calcul des noyaux est utilisée pour caractériser les modes stationnaires correspondant aux écoulements géostrophiques. Finalement, les espaces vectoriels de Raviart-Thomas et Brezzi-Douglas-Marini sont analysés. / The shallow-water equations system plays a central role in numerical oceanic models. The finite element method is particularly well suited to solve the shallow-water equations as it works on irregular meshes with a variety of approximation spaces. However, the behavior of the numerical solution highly depends on the interaction between these approximation spaces. For specific finite element pairs the solution may exhibit spurious oscillations induced by the discretization scheme. In this thesis, we analyze these oscillations for a wide selection of finite element pairs. The numerical dispersion of inertia-gravity waves is quantified with dispersion analyses. A constructive linear algebra approach is developed to compute the kernels of the discretized operators. The results are used to characterize the smallest representable vortices on both structured and unstructured meshes. A special attention is given to the Raviart-Thomas and Brezzi-Douglas-Marini approximation spaces.

Lorsqu'on s'intéresse aux processus lents dans l'océan et dans l'atmosphère, il est important de calculer avec une grande précision les modes lents de Rossby. Dans cette thèse, la méthode semi-lagrangienne est combinée à la méthode des éléments finis pour simuler les ondes de Rossby lentes en modélisation océanographique. Ces ondes sont modélisées par les équations hyperboliques de Saint-Venant, étudié dans cette thèse, et obtenue à partir des équations de Navier Stokes. L'application de la méthode semi-lagrangienne conduit à un problème d'interpolation. Dans cette thèse, nous construisons des schémas d'interpolation d'ordre élevé pour traiter les opérateurs d'advection. Pour pouvoir obtenir de tels schémas, nous avons choisi de faire appel aux éléments finis de classe C1 . Nous nous limitons à l'élément fini de Bell et à la famille d'éléments finis de Hseih-Clough-Tocher, réduit et complet. Des tests numériques sont effectués pour l'équation d'advection linéaire bidimensionelle afin de mesurer le gain apporté par les interpolants C1 . Différentes approches sont proposées pour réinterpoler au pied d'une caractéristique. Une étude théorique de l'analyse de la stabilité et de la précision de ces approches est faite dans le cas de l'équation de transport unidimensionelle. Une comparaison des différentes méthodes de calcul au pied des caractéristiques est également faite à travers des essais numériques. Après avoir validé la construction des interpolants C1 et les différentes approches de remontée des caractéristiques sur des problèmes linéaires simples, nous nous attaquons aux cas non linéaires. Cette fois-ci les domaines de calcul sont complexes et réalistes, le golfe du Mexique en est une illustration. Nous avons choisi deux types d'éléments finis pour résoudre les équa tions de Saint-Venant non linéaires : les paires d'éléments finis P2 — -Pi1 et P1nc — P1. Des simulations numériques faites avec ces deux types d'approximation permettent de bien représenter les ondes de Rossby à un coût de calcul relativement faible et sans l'emploi de la viscosité artificielle.

Dans cette thèse, on analyse par des méthodes de variétés invariantes deux problèmes distincts: le phénomène des roll-waves en hydraulique et l'existence de breathers discrets dans des réseaux non linéaires discrets. Les roll-waves sont des ondes progressives périodiques et discontinues solutions entropiques des équations de Saint Venant. Grace aux théorèmes de Fenichel, on montre l'existence de roll-waves continues "visqueuses" proches des roll-waves discontinues lorsqu'on ajouté aux équations un petit terme de viscosité. On étudie ensuite la stabilité linéaire de ces roll-waves discontinues. Enfin, on montre l'existence de roll-waves de petite amplitude dans des canaux à fond périodiques.\\ Les breathers discrets sont des oscillations périodiques, localisées en espace dans des réseaux non linéaires discrets. On analyse d'abord le modèle Fermi-Pasta-Ulam (FPU) diatomique. En formulant le problème sous la forme d'un mapping en dimension infinie, on montre, via une réduction à une variété centrale, l'existence de breathers discrets de petite amplitude pour des rapports de masses arbitraires. On utilise aussi cette approche pour montrer l'existence de breathers discrets dans des chaines de spins ferromagnétiques.

Dans ce travail on s'intéresse à la résolution des équations de Saint -Venant par la méthode des éléments finis. Deux tests numériques sont présentés en utilisant deux paires d 'éléments finis : P₁NC - P₁ et RT0 - P₀. Lorsque le systèrne d'équations de Saint-Venant admet une solution analytique, cette solution est comparée avec celle obtenue par la méthode numérique pour montrer la robustesse de ces éléments finis.

La modélisation des écoulements en milieux naturels tels que les rivières, les lacs et les océans, fait souvent intervenir un système d'équations aux dérivées partielles dit de Saint-Venant. La plupart des méthodes numériques utilisées pour résoudre les équations de Saint-Venant générent des modes purement numériques en approximant les ondes de type inertie-gravité. Les modes parasites les plus dangereux sont les modes stationnaires. Ils conduisent généralement à des solutions erronées. Ce travail propose une étude des modes stationnaires résultants de la discrétisation des équations de Saint-Venant par des méthodes aux différences finies et d'éléments finis. Nous privilégions une approche de type algèbre linéaire au lieu de celle de type Fourier largement utilisée. Nous introduisons une nouvelle nomenclature des modes parasites qui dépasse largement celle utilisée jusqu'à présent et généralement restreinte aux seuls modes parasites pression. Enfin l'approche de type algèbre linéaire utilisée ici nous permet de tirer quelques conclusions préliminaires quant à la manifestation des modes parasites sur des maillages non structurés.

Nous faisons dans la première partie de ce document l'analyse de dispersion d un modèle linéaire de shallow-water. Notre étude est basée sur l analyse de Fourier. Le schéma temporel utilisé est celui d' Adams-Bashforth à trois pas. La discrétisation en espace est faite avec les paires d'éléments finis P₁NC - P₁ et RT₀ . La relation de dispersion obtenue avec chacune de ces deux paires d éléments finis permet de représenter graphiquemen le module des racines et de faire une étude de stabilité. Nous présentons dans la deuxième partie un théorème d'existence de solution d un modèle 2-D de sédimentation couplant un système de Saint-Venant avec une équation de transport de sédiments. Cette partie est composée de deux chapitres. Dans le premier chapitre on établit le modèle couplé. On intègre les équations tridimensionnelles de Navier-Stokes sur la hauteur de la colonne d '~au tenant compte d 'une bathymétrie variable en espace et en temps. Ceci nous permet d 'obtenir la partie Saint-Venant du modèle. Une équation de transport de sédiments relative à la bathymétrie sera couplée au système de Saint-Venant obtenu. Dans le chapitre 4 nous démontrons un t héorème d 'existence de solution du modèle couplé. La résolution théorique du modèle couplé se fait en posant le problème dans des espaces de dimension finie. Puis nous résolvons le problème de dimension finie associé en utilisant un théorème de point fixe de Brouwer. Enfin, nous montrons que les limites des suites de solutions du problème de dimension finie satisfont les équations du modèle couplé initial. Une étude numérique d'un modèle couplé plus général que celui présenté théoriquement dans les chapitres 3 et 4 est faite au chapitre 5. les schémas discrets en temps d'Euler implicite et de Crank Nicholson sont utilisés et trois triplets d'éléments finis sont explorés dans cette partie numérique. Il s'agit des triplets suivants: P₁ - P₁ - P₁ ' P₂ - P₁ - P₁ et MINI - P₁·

Cette étude présente le modèle bidimensionnel horizontal (2DH) de Serre qui constitue une extension de celui de Saint-Venant (SV) auquel des termes supplémentaires d'accélération verticale sont ajoutés pour tenir compte de la présence de pression dynamique dans l'écoulement. Ses hypothèses sont exposées puis ses équations constitutives sont clairement développées en vue de faciliter sa compréhension. Afin d'éliminer la principale source de difficulté justifiant son manque de popularité et le rendre compatible avec la plupart des schémas numériques, un nouveau format est ensuite établi en séparant les dérivées spatiales de celles temporelles. Partant d'une expansion en séries de Taylor de deuxième ordre, des termes de diffusion artificielle sont ajoutés aux équations dynamiques puis à celle de continuité. Le système résultant est alors résolu à l'aide de la méthode standard des éléments finis utilisant des éléments triangulaires dits non-conformes en raison de leurs intéressantes propriétés d'orthogonalité. La simulation d'un bassin en eau calme puis d'un écoulement permanent uniforme à l'aide du code Matlab® correspondant aboutit exactement aux résultats analytiques escomptés. Le test de propagation d'onde solitaire est également satisfaisant (phase et amplitude). De plus, le modèle simule également bien l'écoulement de rupture de barrage. Cependant, les ondes prédites par le modèle de SV avancent plus vite que celles de Serre. La pression dynamique retarde donc la propagation de ces ondes. L'augmentation de la pente du fond accélère les ondes aussi bien pour Serre que pour SV mais réduit l'écart entre les fronts correspondant aux deux modèles. Un comportement inverse est observé lorsque le fond devient davantage rugueux ainsi que quand le ratio des niveaux d'eau aux deux extrémités du domaine s'accroît. La méthode de diffusion ajoutée s'est également révélée efficace pour la capture des ondes de rupture de barrage sans détérioration de la qualité des résultats numériques. Enfin, après avoir éliminé l'hypothèse de fluide non visqueux selon la verticale posée par Serre, le modèle 'Saint-Venant Plus' (SVP) est développé pour pouvoir tenir compte des contraintes visqueuses verticales significatives dans certains écoulements naturels. Cependant, la resolution numérique de SVP ne fait pas partie des objectifs de cette dièse qui présente seulement une comparaison théorique de la formulation mathématique de SVP avec celles des deux autres modèles (Serre et SV).

La gestion des ressources marines est l'un des enjeux majeurs du XXIe siècle. Les travaux présentés dans cette thèse portent sur l'étude du comportement migratoire des civelles (larves d'anguilles) dans l'estuaire de l'Adour. Le modèle, qui est constitué d'une équation aux dérivées partielles dégénérée de convection diffusion en 2D, prend en compte l'influence de la marée dynamique (système d'équations non linéaires dégénérées de Saint-Venant) et l'intensité lumineuse dans la colonne d'eau. Dans un premier temps, en appliquant la théorie du degré topologique nous avons montré l'existence de solutions stationnaires du modèle hydrodynamique. Par la suite, en injectant ces solutions dans notre modèle migratoire, nous avons établi l'existence de solutions en employant la théorie des semi-groupes, la méthode des caractéristiques et le théorème de J.-L. Lions. La positivité et des estimations a priori des densités biologiques avaient été fournies auparavant. Dans un second temps, nous présentons notre approche numérique. A l'aide des directions alternées et des pas fractionnaires dans un domaine réel de 30 km de long et de hauteur d'eau variable (bathymétrie réelle et influence de la marée) les résultats obtenus reproduisent bien qualitativement ce qui était attendu.

Ce travail porte sur l'assimilation variationnelle de données lagrangiennes en hydraulique fluviale, pour l'identification de paramètres dans un modèle numérique de rivière basé sur les équations de Saint-Venant, mise oeuvre dans le logiciel Dassflow. Nous proposons de prendre en compte des observations de nature Lagrangienne, comme des trajectoires de particules transportées à la surface de l'écoulement, en plus des observations classiquement disponibles, parfois insuffisantes. L'intérêt de cette approche pour améliorer l'identification de certains paramètres est mis en évidence à travers une série d'expériences numériques utilisant soit des données synthétiques, soit des données réelles issues d'un écoulement en canal, où des trajectoires sont extraites d'une séquence vidéo.