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Tableau d'honneur de la Faculté des études supérieures et postdoctorales, 2006-2007

Dans ce mémoire, on s'intéresse aux convolutions de fonctions arithmétiques. D'abord on rappelle les grandes notions de base : fonctions additives et fonctions multiplicatives, convolution de Dirichlet, convolutions arithmétiques régulières et fonctions génératrices. Ensuite, on étudie différents opérateurs de moyenne sur certains ensembles de diviseurs et leurs inverses. Aussi, on porte son attention à l'étude des valeurs moyennes de certaines fonctions en améliorant de façon significative leur terme d'erreur O(Î^J ) en un terme O(lo J:+\x) pour un entier positif m arbitraire. Finalement, on analyse quelques caractérisations de fonctions arithmétiques basées sur diverses convolutions.

Le but de ce mémoire est de présenter une généralisation des algorithmes Zipper et Géodésique, dans les cas de calculs d'applications conformes entre deux domaines doublement connexes. Nous aurons donc besoin dans un premier temps, de connaître les domaines doublement connexes et de classifier les domaines multiplement connexes de référence, ainsi que les applications analytiques permettant de s'y ramener. On définira brièvement, par la suite, les notions de capacité et de capacité hyperbolique. Ceci nous permettra d'énoncer un théorème de représentation conforme en connectivité 2. Nous travaillerons ensuite sur les revêtements universels des domaines considérés, de sorte à pouvoir récupérer les algorithmes existants dans le cas simplement connexe, et principalement, les algorithmes Zipper et Géodésique.

Dans ce mémoire, nous étudions la stabilité des équations fonctionnelles, la cohomologie des algèbres de Banach ainsi que les liens utiles entre ces deux théories. Nous présentons au chapitre 2 une introduction à la stabilité des équation fonctionnelles et quelques nouveaux résultats concernant les fonctions strictement e-additives. Au chapitre 3, nous étudions les notions de base de la cohomologie, incluant le produit tensoriel et l'amenabilité d'une algèbre. Finalement, au chapitre 4, nous explorons les liens entre ces deux domaines. Ce chapitre est principalement constitué de travail original. Nous y faisons le lien entre l'amenabilité d'un groupe et la stabilité de l'équation de Cauchy sur ce groupe. De plus, dans des circonstances précises, nous proposons deux approches possibles pour relier le fait que Hn (l1 (S), l°°(S)) est un espace de Banach, où S est un semi-groupe, avec la stabilité de certaines équations sur S.

L'utilisation de la régression non paramétrique est fréquente en analyse de données, puisque les postulats associés à la régression paramétrique ne sont pas toujours vérifiés, mais également parce qu'elle laisse aux données la décision de la forme de la relation entre une variable dépendante Y et une variable explicative X. Dans ce mémoire, l'intérêt est porté sur l'estimation de percentiles conditionnels. Plus précisément, comme il arrive parfois que la variable réponse soit censurée, les méthodes d'estimation non paramétrique lisse de régression des percentiles dans le cas où la variable réponse est censurée à droite sont abordées. Ainsi, trois estimateurs sont considérés : un employant l'estimateur de Kaplan-Meier généralisé, un utilisant une optimisation pondérée par les poids Stute et un employant l'estimateur de Bowman et Wright. Ces méthodes sont appliquées à un jeu de données et leurs propriétés sont étudiées par voie de simulations.

P. F. Pickel et J. Roitberg, dans un article qui date de 2000, construisent une paire À'I, N-2 de groupes nilpotents de classe 4 sans torsion de type fini tels que, pour chaque nombre premier p, leurs p-localisations (Ni),p et {N'2)p sont isomorphes, mais pourtant leurs groupes d'automorphismes Aut N} et Aut N2 ne sont pas isomorphes. Notre but premier est donc le suivant : prouver un résultat similaire, mais cette fois-ci avec des groupes dont la classe de nilpotence est 2. Les groupes Y(QK, q) que nous exhibons sont sous-groupes du groupe des ma,trices 3x 3 unitriangulaircs supérieures f/T(3, OK), OÙ OK est l'anneau des entiers d'un corps de nombres K de degré 2 sur Q et q est un idéal de OK qui satisfait certaines conditions. Malheuresement, nous n'atteignons pa,s notre but premier, mais nous formulons tout de même une condition suffisante intéressante.

Les équations de Saint-Venant sont un système aux dérivées partielles jouant un rôle central dans la modélisation des écoulements océaniques. La méthode des éléments finis est particulièrement adaptée pour résoudre les équations de Saint-Venant car elle offre une grande flexibilité sur les domaines irréguliers ainsi qu’une variété d’espaces pour l’approximation de la solution. Or, la qualité de la solution numérique dépend de l’interaction entre ces espaces. Pour certaines combinaisons ou paires d’élément finis la solution numérique peut présenter des oscillations articiellement introduites par la discrétisation. Cette thèse porte sur le comportement numérique des solutions aux équations de Saint-Venant obtenues par différentes paires d’éléments finis. Tout d’abord, une étude sur la dispersion des ondes d’inertie-gravité est présentée pour une sélection de neuf paires d’éléments finis. Un ensemble de trois propriétés est ensuite mis en évidence afin que la discrétisation respecte le comportement des équations analytiques. Une méthode basée sur le calcul des noyaux est utilisée pour caractériser les modes stationnaires correspondant aux écoulements géostrophiques. Finalement, les espaces vectoriels de Raviart-Thomas et Brezzi-Douglas-Marini sont analysés. / The shallow-water equations system plays a central role in numerical oceanic models. The finite element method is particularly well suited to solve the shallow-water equations as it works on irregular meshes with a variety of approximation spaces. However, the behavior of the numerical solution highly depends on the interaction between these approximation spaces. For specific finite element pairs the solution may exhibit spurious oscillations induced by the discretization scheme. In this thesis, we analyze these oscillations for a wide selection of finite element pairs. The numerical dispersion of inertia-gravity waves is quantified with dispersion analyses. A constructive linear algebra approach is developed to compute the kernels of the discretized operators. The results are used to characterize the smallest representable vortices on both structured and unstructured meshes. A special attention is given to the Raviart-Thomas and Brezzi-Douglas-Marini approximation spaces.

Soit fi un sous-ensemble ouvert de Rd (d > 2) et soit x E fi. Une mesure de Jensen pour x par rapport à fi est une mesure borélienne de probabilité /i, supportée par un sous-ensemble compact de fi, telle que J ud/i < u(x) pour chaque fonction surharmonique u définie sur fi. Notons par Jx(fi) la famille des mesures de Jensen pour x par rapport à fi et par Jx(fi) l'ensemble des éléments extrémaux de Jx(tt). Le principal problème relié aux mesures de Jensen n'est pas de les exhiber comme il est parfois le cas avec certains objets mathématiques. Il est plutôt question de les contrôler, c'est-à-dire de les exprimer en termes d'objets mieux connus. C'est ce dont il est question dans cette thèse. Dans les Chapitres 1 à 3, on introduit les différents concepts que le lecteur devrait connaître pour bien comprendre la suite. On y aborde les principaux résultats de la théorie du potentiel classique, les mesures de Jensen ainsi que la théorie fine du potentiel et les mesures finement harmoniques construites à partir de la topologie fine relative à l'ensemble de fonctions surharmoniques. Le résultat principal de cette thèse est la caractérisation complète de ext(Jr(fi)) en termes de mesures finement harmoniques et aussi en termes de limites de mesures harmoniques définies sur des suites décroissantes de domaines. Ceci représente le contenu des Théorèmes 0.1 et 0.2 démontrés aux Chapitres 4 à 8. Au Chapitre 9, on présente un résultat sur la majoration des mesures de Jensen par les mesures harmoniques. Par le fait même, on affaiblit l'hypothèse sur la borne inférieure locale dans un résultat de B. Cole et T. Ransford (le résultat principal de Jensen measures and harmonie measures, J. Reine Angew. Math. 541 (2001), 29-53). Au chapitre 10, on présente une application à l'analyse complexe dans laquelle on améliore un résultat de Khabibullin sur la question de savoir, étant donné une suite (an) de nombres complexes et une fonction continue M : C -> R+ , s'il existe une fonction entière / ^ 0 qui s'annule en chaque an et dont le module est inférieur à M. Finalement, au chapitre 10, il est question d'une troisième caractérisation des mesures de Jensen extrémales en termes d'approximation par les fonctions (J-surharmoniques.

Cette thèse contribue à l'analyse de durées de vie bivarices. Elle s'appuie sur quatre articles, rédigés en collaboration avec Christian Genest (directeur), Thierry Duchesne (codirecteur) ou d'autres collaborateurs (Lajmi Lakhal-Chaieb, Bruno Rémillard, Louis-Paul Rivest). Le premier article, soumis à Insurance : Mathematics and Economies en novembre dernier, propose deux nouveaux tests d'adéquation d'un modèle de copules pour une paire (X, Y) de durées de vie. Leur performance est comparée à celle de six tests omnibus par voie de simulation. Le second article, à paraître dans Computational Statistics and Data Analysis, propose de nouveaux estimateurs du tau de Kendall entre les variables X et, Y, lorsque seule la seconde est sujette à censure. Une étude de Monte-Carlo montre que parce qu'ils exploitent l'information conditionnelle entre les variables, ces nouveaux estimateurs sont plus performants que ceux couramment utilisés dans ce contexte. Le troisième article, en cours de révision pour Lifetime Data Analysis, propose un estimateur de type Horvitz Thompson pour T(X,Y) lorsque les deux variables sont sujettes à censure. On démontre qu'au contraire des estimateurs existants, celui-ci demeure convergent même quand r / 0. Le quatrième article, soumis à Statistics in Medicine, présente un critère de sélection de modèle lorsque la paire (X, Y) n'est observable que dans la région Y > X et que Y est sujette à censure à droite, La procédure compare une estimation paramétrique à une estimation non paramétrique de la version tronquée du tau de Kendall. / This thesis contributes to bivariate survival data analysis. It is based on four papers, written jointly with Christian Genest (supervisor), Thierry Duchesne (co-supervisor) or other collaborators (Lajrni Lakhal-Chaieb, Bruno Rémillard, Louis-Paul Rivest). The first paper, submitted to Insurance : Mathematics and Economies last November, proposes two new statistics for goodness-of-fit testing of a copula model for a pair (X, Y) of lifetimes. Their performance is compared to that of six omnibus tests through simulation. The second paper, which is due to appear in Computational Statistics and Data Analysis, proposes new estimators of Kendall's tau between variables X and Y when only the second is subject to censoring. A Monte Carlo study shows that because tliey take into account the conditional information between the variables, thèse new estimators perforai better than those currently used in this context. The third paper, currently under revision for Lifetirne Data Analysis, proposes a Horvitz Thompson type estimator for T(X, Y) when both variables are subject to censoring. It is shown that by opposition to existing estimators, this one remains consistent even when r/() . The fourth paper, submitted to Statistics in Medicine, présents a model sélection criterion when the pair (X, Y) can only be observed in the région Y > X and Y is subject to right censoring. The procédure compares a parametric estimate to a nonparametric estimate of the fruneafed version of Kendall's tau.