Dans ce mémoire, on s'intéresse aux convolutions de fonctions arithmétiques. D'abord on rappelle les grandes notions de base : fonctions additives et fonctions multiplicatives, convolution de Dirichlet, convolutions arithmétiques régulières et fonctions génératrices. Ensuite, on étudie différents opérateurs de moyenne sur certains ensembles de diviseurs et leurs inverses. Aussi, on porte son attention à l'étude des valeurs moyennes de certaines fonctions en améliorant de façon significative leur terme d'erreur O(Î^J ) en un terme O(lo J:+\x) pour un entier positif m arbitraire. Finalement, on analyse quelques caractérisations de fonctions arithmétiques basées sur diverses convolutions.

Pour une fonction additive f et une fonction multiplicative g , soit E ( f, g ; x ) := # { n ≤ x : f ( n ) = g ( n ) } . Dans cette thèse, nous améliorons le résultat de De Koninck, Doyon et Letendre relatif à l’ordre de grandeur de E ( ω, g ; x ) et E (Ω , g ; x ) . Nous obtenons aussi des résultats généralisant l’inégalité d’Hardy-Ramanujan et le théorème de Landau. De plus, nous appliquons la méthode de Selberg-Delange de façon à obtenir une formule relative à la fréquence des fonctions ω ( n ) et Ω( n ) en progression arithmétique. Finalement, nous trouvons une condition suffisante pour qu’une fonction arithmétique quel- conque possède une fonction de répartition et obtenons une version quantitative du théorème d’Erdős-Wintner. / For an additive function f and a multiplicative function g , let E ( f, g ; x ) := # { n ≤ x : f ( n ) = g ( n ) } . In this thesis, we improve the result of De Koninck, Doyon and Letendre regarding the order of magnitude of E ( ω, g ; x ) and E (Ω , g ; x ) . We also obtain results which generalise the Hardy-Ramanujan inequalities and the Landau theorem. Moreover, we use the Selberg-Delange method in order to obtain a formula on the frequency of the fonctions ω ( n ) and Ω( n ) in arithmetic progression. Finaly, we find a sufficient condition for an arithmetical function to possess a distribution function and obtain a quantitative version of the Erdős-Wintner theorem.

La thèse concerne différents aspects de la répartition des fonctions arithmétiques.1. Deshouillers, Iwaniec et Luca se sont récemment intéressés à la répartition modulo 1 de suites qui sont des valeurs moyennes de fonctions multiplicatives, par exemple phi(n)/n où phi est la fonction d'Euler. Nous étendons leur travail à la densité modulo 1 de suites qui sont des valeurs moyennes sur des suites polynômiales, typiquement n^2+1.2. On sait depuis les travaux de Katai, il y a une quarantaine d'années que la fonction de répartition des valeurs de phi(p-1)/(p-1) (où p parcourt les nombres premiers) est continue, purement singulière, strictement croissante entre 0 et 1/2. On précise cette étude en montrant que cette fonction de répartition a une dérivée infinie à gauche de tout point phi(2n)/(2n). / Abstract

La fonction de Möbius est définie par$$\mu(n)= \begin{cases} 1 & \textit{si $n=1$},\\ (-1)^k& \textit{si n est le produit de k nombres premiers distincts,}\\ 0 & \textit{si n contient un facteur carré. } \end{cases}$$Nous avons démontré que pour $x \ge \exp( 10^9) $ et $h=x^{1-\frac{1}{16000}}$, il existe dans chaque intervalle $[x-h,x]$ des entiers $n_1$ avec $\mu(n_1)=1$ et des entiers $n_2$ avec $\mu(n_2)=-1$.\\Ce résultat est une conséquence d'un résultat plus général.\\Pour $x \ge \exp(4\times 10^6)$, $\frac{1}{\sqrt{\log x}} \le \theta \le \frac{1}{2000}$, $h=x^{1-\theta}$ et $Q=(x/h)^{\frac{1}{20}}$, nous avons \\$$\sum_{q \leq Q} \log(Q/q)\sum_{\chi mod q}^*\left| \sum_{x.-h\le n \le x} \mu(n) \chi(n) \right| \leq 10^{20} h \theta \log(x) \exp( \frac{-1}{300 \theta}); $$la somme $\sum^*$ portant sur les caractères primitifs sauf l'éventuel caractère exceptionnel.\\Et en particulier pour $x \ge \exp( 10^9)$,$$ \left | \sum_{x.-x^{1-\frac{1}{16000}}\le n \le x} \mu(n) \right | \le \frac{1}{100} x^{1-\frac{1}{16000}}.\\$$ / The Möbius function is defined by$$\mu(n)= \begin{cases} 1 & \textit{if $n=1$},\\ (-1)^k& \textit{if n is a product of k distinct prime numbers,}\\ 0 & \textit{if n contains a square factor. } \end{cases}$$We demonstrate that for $x \ge \exp( 10^9) $ and $h=x^{1-\frac{1}{16000}}$, it exists in each interval $[x-h,x]$ integers $n_1$ with $\mu(n_1)=1$ and integers $n_2$ with $\mu(n_2)=-1$.\\This result is a consequence of a more general result. \\For $x \ge \exp(4\times 10^6)$, $\frac{1}{\sqrt{\log x}} \le \theta \le \frac{1}{2000}$, $h=x^{1-\theta}$ et $Q=(x/h)^{\frac{1}{20}}$, we have \\ $$\sum_{q \leq Q} \log(Q/q)\sum_{\chi mod q}^*\left| \sum_{x-h \le n \le x} \mu(n) \chi(n) \right| \leq 10^{20} h \theta \log(x) \exp( \frac{-1}{300 \theta}); $$the sum $\sum^*$ relating to primitive characters except for possible exceptional character.\\And in particular for $x \ge \exp( 10^9)$,$$\left | \sum_{x-.x^{1-\frac{1}{16000}}\le n \le x} \mu(n) \right | \le \frac{1}{100} x^{1-\frac{1}{16000}}.$$