Étant donné une matrice ou un opérateur, comprendre comment se comportent ses puissances et plus généralement le calcul fonctionnel, est un problème qui intervient dans de nombreux domaines. Pour les opérateurs normaux, le spectre fournit de précieuses informations sur la norme du calcul fonctionnel. Cependant, la situation est très différente pour les opérateurs non normaux. Dans cette thèse, nous étudions donc plusieurs alternatives au spectre pour contrôler la norme des puissances ou fonctions de matrices ou d'opérateurs non normaux. Dans un premier temps, on s'intéresse à l'image numérique, aux ensembles K-spectraux et plus précisément à la conjecture de Crouzeix. Posée par Crouzeix en 2004, celle-ci stipule que l'image numérique pourrait être un ensemble 2-spectral. Récemment, Crouzeix et Palencia ont montré que c'est un ensemble (1+√2)-spectral. En s'inspirant de leur résultat, nous proposons une approche abstraite de la conjecture de Crouzeix en commençant par une version abstraite de leur résultat. On montre que si A est une algèbre uniforme et θ : A → Mₙ(ℂ) est un morphisme d'algèbre continu, s'il existe une contraction antilinéaire α : A → A telle que ∥θ(f) + θ(α(f))*∥ ≤ 2∥f∥ (f ∈ A), alors ∥θ∥ ≤ 1 + √2. Sous ces conditions 1 + √2 est optimale mais si on suppose en plus que α(1) = 1, alors il se pourrait que ∥θ∥ ≤ 2. Enfin, on montre deux cas particuliers pour lesquels on a réussi à prouver cette conjecture. Dans un second temps nous étudions le théorème de Kreiss et ses généralisations. Ce théorème permet de contrôler le supremum de la norme des puissances d'une matrice à l'aide de sa résolvante. Il a été généralisé aux polynômes et sur des domaines généraux par Toh et Trefethen puis pour les fonctions holomorphes sur le disque par Vitse. On étudie leurs résultats et on montre une inégalité de type Kreiss pour les fonctions rationnelles bornées sur des domaines généraux : pour un domaine Ω dont la frontière est une courbe de Jordan C², il existe une constante C > 0 telle que pour toute fonction rationnelle f bornée sur Ω et pour tout opérateur T ∈ B(X) tel que σ(T) ⊂ Ω[barre au-dessus], on a ∥f(T)∥ ≤ C(deg(f) + 1)∥f∥ [indice Ω] sup [z∉Ω[barre au-dessus] en-dessous] [dist(z, Ω)∥(zI - T)⁻¹∥]. Enfin, nous nous intéressons aux matrices ayant des pseudospectres identiques. Il est connu que les pseudospectres permettent de contrôler les normes des matrices à un facteur multiplicatif 2 près. Mais l'histoire est vraiment différente pour les puissances supérieures comme le montre un résultat de Ransford. Celui-ci a pour conséquence que, pour tout M > 0, il existe des matrices A, B ∈ M[indice N](ℂ) ayant des pseudospectres identiques telles que ∥Aⁿ∥ > M∥Bⁿ∥ pour tout 2 ≤ n ≤ (N - 3)/2. Quelques années plus tard, Ransford et Raouafi ont montré que pour tout M > 0 et n ≥ 2, il existe deux matrices A, B ∈ M₆(ℂ) ayant des pseudospectres identiques mais tels que ∥Aⁿ∥ > M∥Bⁿ∥ en montrant ce résultat plus généralement pour des fonctions holomorphes qui ne sont pas des transformations de Möbius. On obtient un résultat similaire pour deux puissances. Plus précisément, on montre qu'étant donné M > 0 et n, m ≥ 2, il existe deux matrices A et B de taille 10 x 10 ayant des pseudospectres identiques telles que ∥Aⁿ∥ > M∥Bⁿ∥ et ∥Aᵐ∥ > M∥Bᵐ∥ et que ce résultat tient pour deux fonctions holomorphes moyennant une condition technique.
| Identifer | oai:union.ndltd.org:LAVAL/oai:corpus.ulaval.ca:20.500.11794/70389 |
| Date | 01 October 2021 |
| Creators | Ostermann, Maëva |
| Contributors | Ransford, Thomas Joseph |
| Source Sets | Université Laval |
| Language | French |
| Detected Language | French |
| Type | thèse de doctorat, COAR1_1::Texte::Thèse::Thèse de doctorat |
| Format | 1 ressource en ligne (xii, 126 pages), application/pdf |
| Rights | http://purl.org/coar/access_right/c_abf2 |
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