L’A-polinomi d’un nus en S3 és un poliomi de dues variables obtingut projectant la
varietat de SL2C-caràcters de l’exterior del nus sobre la varietat de caràcters del grup perifèric.
Distingeix el nus trivial i detecta alguns pendents a la vora de superfícies essencials
dels exteriors de nus.
El concepte de A-polinomi va ser generalitzat a les 3-varietats amb vores tòriques no
connexes; una 3-varietat M amb n tors de vora produeix un sub-espai algebraic E(M) de
C2n anomenat varietat de valors propis de M. Té dimensió maximal n i E(M) també
detecta sistemes de pendents a les vores de superfícies essencials en M.
La varietat de valors propis de M sempre conté una part Ered(M), de dimensió maximal,
produïda pels caràcters reductibles. Si M és hiperbòlica, E(M) conté una altra
component de dimensió maximal; saber quines altres 3-varietats compleixen això encara
és una pregunta oberta.
En aquesta tesi, estudiem aquest assumpte per dues famílies de 3-varietats amb vores
tòriques i, amb dues tècniques diferents, aportem una resposta positiva en ambdós casos.
Primerament, estudiem els enllaços Brunnians en S3, enllaços per els quals tot subenllaç
estricte és trivial. Algunes propietats d’aquests enllaços i llur estabilitat sota alguns
ompliments de Dehn permet mostrar que, si M és l’exterior d’un enllaç Brunnià no trivial
i diferent de l’enllaç de Hopf, E(M) conté una component de dimensió maximal diferent
de Ered(M). Aquest resultat s’obté generalitzant la tècnica prèviament utilitzada per els
nusos en S3 fent servir el teorema de Kronheimer-Mrowka.
Per altre banda, considerem una família de varietats-enllaç, varietats obtingudes com
exteriors d’enllaços en esferes d’homologia entera. Les varietats-enllaç tenen sistemes
perifèrics estàndards de meridans i longituds i són estables per splicing, l’enganxament de
dues varietats-enllaç al llarg de tors perifèrics, identificant el meridià de cada costat amb la
longitud oposada. El splicing indueix una noció de descomposició tòrica per les varietatsenllaç
i anomenem grafejades les varietats-enllaç que admeten una descomposició tòrica
per la qual totes les peces són fibrades de Seifert. Mostrem que, excloent els casos trivials,
totes les varietats-enllaç grafejades produeixen una altre component de dimensió maximal
en les seves varietats de valors propis.
Per aquesta segona demostració, presentem una nova generalització de la varietat de
valors propis, que també té en compte tors interns, i que presentem en el context més general
d’arbres abelians de grups. Un arbre de grup és abelià quan tots els grups de arestes
són commutatius; en aquest cas, definim la varietat de valors propis d’un arbre abelià de
grup, una varietat algebraica compatible amb dues operacions naturales sobre els arbres: la
fusió i la contracció. Això permet estudiar la varietat de valors propis d’una varietat-enllaç
mitjançant les varietats de valors propis de les seves descomposicions tòriques. Combinant resultats generals sobre varietats de valors propis d’arbres abelians de grup i les descripcions
combinatòries de les varietats-enllaç grafejades, construïm components de dimensió
maximal en les seves varietats de valors propis. / Le A-polynôme d’un noeud dans S3 est un polynôme à deux variables obtenu en projetant
la variété des SL2C-caractères de l’extérieur du noeud sur la variété de caractères du
groupe périphérique. Il distingue le noeud trivial et détecte certaines pentes aux bords de
surfaces essentielles des extérieurs de noeud.
La notion de A-polynôme a été généralisée aux 3-variétés à bord torique non connexe ;
une 3-variétéM bordée par n tores produit un sous-espace algebrique E(M) de C2n appelé
variété des valeurs propres deM. Sa dimension est inférieure ou égale à n et E(M) détecte
également des systèmes de pentes aux bords de surfaces essentielles dans M.
La variété des valeurs propres de M contient toujours un sous-ensemble Ered(M) produit
par les caractères réductibles, et de dimension maximale. Si M est hyperbolique,
E(M) contient une autre composante de dimension maximale ; pour quelles autres 3-
variétes est-ce le cas reste une question ouverte.
Dans cette thèse, nous étudions cette question pour deux familles de 3-variétés à bords
toriques et, via deux techniques distinctes, apportons une réponse positive dans ces deux
cas.
Dans un premier temps, nous étudions les entrelacs Brunniens dans S3, entrelacs pour
lesquels tout sous-entrelacs strict est trivial. Certaines propriétés de ces entrelacs, et leur
stabilité par certains remplissages de Dehn nous permettent de prouver que, siM est l’extérieur
d’un entrelacs Brunnien non trivial et différent de l’entrelacs de Hopf, E(M) contient
une composante de dimension maximale différente de Ered(M). Ce résultat est obtenu en
généralisant la technique préalablement utilisée pour les noeuds dans S3 grâce au théorème
de Kronheimer-Mrowka.
D’autre part, nous considérons une famille de variétés-entrelacs, variétés obtenues
comme extérieurs d’entrelacs dans des sphères d’homologie entière. Les variétés-entrelacs
possèdent des systèmes périphériques standard de méridiens et longitudes et sont stables
par splicing, le recollement de deux variétés-entrelacs le long de tores périphériques en
identifiant le méridien de chaque coté avec la longitude opposée. Ceci induit une notion de
décomposition torique de variété-entrelacs et une telle variété est dite graphée si elle admet
une décomposition torique où toutes les pièces sont fibrées de Seifert. Nous montrons
que, mis-à-part les cas triviaux, toutes les variétés-entrelacs graphées produisent une autre
composante de dimension maximale dans leur variétés des valeurs propres.
Pour cette seconde preuve, nous présentons une nouvelle généralisation de la variété
des valeurs propres, qui prend également en compte les tores intérieurs, que nous introduisons
dans le contexte plus général des arbres abéliens de groupes. Un arbre de groupe
est appelé abélien si tous les groupes d’arête sont commutatifs ; dans ce cas, nous définissions
la variété des valeurs propres d’un arbre abélien de groupe, une variété algébrique compatible avec deux opérations naturelles sur les arbres : la fusion et la contraction. Ceci
permet d’étudier la variété des valeurs propres d’une variété-entrelacs à travers les variétés
des valeurs propres de ses décompositions toriques. En combinant des résultats généraux
sur les variétés des valeurs propres d’arbres abéliens de groupe et les descriptions combinatoires
des variétés-entrelacs graphées, nous contruisons des composantes de dimension
maximale dans leur variétés des valeur propres. / The A-polynomial of a knot in S3 is a two variable polynomial obtained by projecting
the SL2C-character variety of the knot-group to the character variety of its peripheral subgroup.
It distinguishes the unknot and detects some boundary slopes of essential surfaces
in knot exteriors.
The notion of A-polynomial has been generalized to 3-manifolds with non-connected
toric boundaries; ifM is a 3-manifold bounded by n tori, this produces an algebraic subset
E(M) of C2n called the eigenvalue variety of M. It has dimension at most n and still
detects systems of boundary slopes of surfaces in M.
The eigenvalue variety of M always contains a part Ered(M) arising from reducible
characters and with maximal dimension. If M is hyperbolic, E(M) contains another topdimensional
component; for which 3-manifolds is this true remains an open question.
In this thesis, this matter is studied for two families of 3-manifolds with toric boundaries
and, via two very different technics, we provide a positive answer for both cases.
On the one hand, we study Brunnian links in S3, links in the standard 3-sphere for
which any strict sublink is trivial. Using special properties of these links and stability
under certain Dehn fillings we prove that, if M is the exterior of a Brunnian link different
from the trivial link or the Hopf link, then E(M) admits a top-dimensional component
different from Ered(M). This is achieved generalizing the technic applied to knots in S3,
using Kronheimer-Mrowka theorem.
On the other hand, we consider a family of link-manifolds, exteriors of links in integerhomology
spheres. Link-manifolds are equipped with standard peripheral systems of
meridians and longitudes and are stable under splicing, gluing two link-manifolds along
respective boundary components, identifying the meridian of each side to the longitude of
the other. This yields a well-defined notion of torus decomposition and a link-manifold
is called a graph link-manifold if there exists such a decomposition for which each piece
is Seifert-fibred. Discarding trivial cases, we prove that all graph link-manifolds produce another top-dimensional component in their eigenvalue variety.
For this second proof, we propose a further generalization of the eigenvalue variety that
also takes into account internal tori and this is introduced in the broader context of abelian
trees of groups. A tree of group is called abelian if all its edge groups are commutative; in
that case, we define the eigenvalue variety of an abelian tree of groups, an algebraic variety
compatible with two natural operations on trees: merging and contraction. This enables to
study the eigenvalue variety of a link-manifold through the eigenvalue varieties of its torus
splittings. Combining general results on eigenvalue varieties of abelian trees of groups
with combinatorial descriptions of graph link-manifolds, we construct top-dimensional
components in their eigenvalue varieties.
| Identifer | oai:union.ndltd.org:TDX_UAB/oai:www.tdx.cat:10803/308323 |
| Date | 20 July 2015 |
| Creators | Malabre, François |
| Contributors | Boileau, Michel, Porti Piqué, Joan, Universitat Autònoma de Barcelona. Departament de Matemàtiques |
| Publisher | Universitat Autònoma de Barcelona |
| Source Sets | Universitat Autònoma de Barcelona |
| Language | English |
| Detected Language | French |
| Type | info:eu-repo/semantics/doctoralThesis, info:eu-repo/semantics/publishedVersion |
| Format | 157 p., application/pdf |
| Source | TDX (Tesis Doctorals en Xarxa) |
| Rights | L'accés als continguts d'aquesta tesi queda condicionat a l'acceptació de les condicions d'ús establertes per la següent llicència Creative Commons: http://creativecommons.org/licenses/by-nc-nd/3.0/es/, info:eu-repo/semantics/openAccess |
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